《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

例1 如图,AB 是$\odot O$的弦,半径$OD\perp AB$于点 C. 若$AB= 16$,$CD= 2$,求$\odot O$的半径.




 

答案： 【解析】：本题主要考查垂径定理及勾股定理的应用。
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
已知半径$OD\perp AB$，根据垂径定理可得$AC = \frac{1}{2}AB$，进而求出$AC$的长度。
2.勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OA = r$，$OC = r - CD$，在$Rt\triangle OAC$中，根据勾股定理列出关于$r$的方程，求解方程即可得到圆的半径。
【答案】：
解：如解图，连结$OA$。
$\because \odot O$的弦$AB = 16$，半径$OD\perp AB$，
$\therefore AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16 = 8$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OC = r - CD = r - 2$。
在$Rt\triangle OAC$中，$OA^{2}=OC^{2}+AC^{2}$，
即$r^{2}=(r - 2)^{2}+8^{2}$，
$r^{2}=r^{2}-4r + 4 + 64$，
$4r=68$，
解得$r = 17$。
故$\odot O$的半径为$17$。

变式1 如图①,圆形拱门屏风是我国古代家庭中常见的装饰隔断. 如图②所示为一款拱门的示意图,其中 C 为 AB 的中点,D 为拱门最高点,线段 CD 经过圆心 O,已知拱门的半径为 1.5 m,拱门最下端$AB= 1.8m$. 求拱门最高点 D 到 AB 的距离 CD.

答案： 2.7 m.

例2 如图,$\odot O$的直径是 10,C 是弦 AB 的延长线上的一点,连结 OC. 若$OC= 8$,$\angle C= 30^{\circ}$,则 AC 的长为______4√3 + 3.

 

答案： 解：过点 O 作 OH⊥AB 于点 H，连结 OB，
∴∠OHC=90°。
∵∠C=30°，OC=8，
∴OH=1/2 OC=4，
∴CH=√(OC² - OH²)=√(8² - 4²)=4√3。
∵⊙O 的直径是 10，
∴OB=5，
在 Rt△OBH 中，BH=√(OB² - OH²)=√(5² - 4²)=3，
∵OH⊥AB，
∴AH=BH=3，
∴AC=CH + AH=4√3 + 3。
4√3 + 3

变式2 如图,在以点 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 交小圆于 C,D 两点,若$AB= 16cm$,$CD= 6cm$.
(1)求 AC 的长.
(2)若大圆的半径为 10 cm,求小圆的半径.

答案： 1. （1）
过点$O$作$OE\perp AB$于点$E$。
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，所以$AE = BE=\frac{1}{2}AB$，$CE = DE=\frac{1}{2}CD$。
已知$AB = 16cm$，则$AE=\frac{1}{2}×16 = 8cm$；已知$CD = 6cm$，则$CE=\frac{1}{2}×6 = 3cm$。
那么$AC=AE - CE$。
所以$AC=8 - 3=5cm$。
2. （2）
解：连接$OA$，$OC$。
在$Rt\triangle OAE$中，$OA = 10cm$，$AE = 8cm$，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），可得$OE=\sqrt{OA^{2}-AE^{2}}$。
把$OA = 10$，$AE = 8$代入$OE=\sqrt{OA^{2}-AE^{2}}$，则$OE=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6cm$。
在$Rt\triangle OCE$中，$OE = 6cm$，$CE = 3cm$，再根据勾股定理$OC=\sqrt{OE^{2}+CE^{2}}$。
把$OE = 6$，$CE = 3$代入$OC=\sqrt{OE^{2}+CE^{2}}$，则$OC=\sqrt{6^{2}+3^{2}}=\sqrt{36 + 9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}cm$。
综上，（1）$AC$的长为$5cm$；（2）小圆的半径为$3\sqrt{5}cm$。