《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

A组
1. 如图,在△ABC 中,∠A=78°,AB=4，AC=6.将△ABC 沿虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 （C）
 
A.
B.
C.
D.

答案： C

2. 如图,在正方形方格纸中,△ABC 和△PDE 的顶点均在格点上,要使△ABC∽△PDE，则点 P 所在的格点为 （B）

A.$P_{1}$
B.$P_{2}$
C.$P_{3}$
D.$P_{4}$

答案： B

3. 如图,某零件的外径为10 cm,用一个交叉卡钳(两条尺长 AC 和 BD 相等)可测量零件的内孔直径 AB. 如果 OA:OC=OB:OD=3,且量得 CD=3 cm,则零件的厚度 x 为 （B）

A.0.3 cm
B.0.5 cm
C.0.7 cm
D.1 cm

答案： 【解析】：本题可根据相似三角形的判定定理和性质来求解零件的厚度$x$。
由题可知$OA:OC = OB:OD = 3$，且$\angle AOB = \angle DOC$（对顶角相等）。
根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得$\triangle AOB\sim\triangle DOC$。
再根据相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}=3$。
已知$CD = 3cm$，将其代入$\frac{AB}{CD}=3$，可求出$AB$的长度。
因为零件的外径为$10cm$，零件的厚度为$x$，所以$AB = 10 - 2x$。
最后通过建立方程求解$x$的值。
【答案】：解：
∵$OA:OC = OB:OD = 3$，$\angle AOB = \angle DOC$，
∴$\triangle AOB\sim\triangle DOC$，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}=3$。
∵$CD = 3cm$，
∴$AB = 3× CD = 3×3 = 9cm$。
又
∵零件的外径为$10cm$，零件的厚度为$x$，
∴$AB = 10 - 2x$，
即$10 - 2x = 9$，
$2x = 10 - 9$，
$2x = 1$，
解得$x = 0.5cm$。
故选B。

4. 如图,BC 平分∠ABD,AB=9,BD=25，当 BC=15时,△ABC∽△CBD.

答案： 【解析】：本题可根据相似三角形的性质来求解$BC$的长度。
已知$\triangle ABC\sim\triangle CBD$，根据相似三角形对应边成比例的性质，可得到$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{BD}$。
因为$AB = 9$，$BD = 25$，将其代入到$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{BD}$中，即可求出$BC$的值。
【答案】：解：
∵$\triangle ABC\sim\triangle CBD$
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{BD}$
∵$AB = 9$，$BD = 25$
∴$\frac{9}{BC}=\frac{BC}{25}$
即$BC^{2}=9×25 = 225$
解得$BC = 15$或$BC = -15$（线段长度不能为负舍去）
所以当$BC = 15$时，$\triangle ABC\sim\triangle CBD$。
故答案为$15$。

5. 如图,在平面直角坐标系中,有 A(4,0),B(0,2)两点,点 C 在 x 轴上(点 C 不与点 A 重合).当点 C 的坐标为 (1,0)，(-1,0)，(-4,0)时,以 B,O,C 为顶点的三角形与△AOB 相似(写出满足条件的点的坐标).

答案： 解：
∵A(4,0)，B(0,2)，
∴OA=4，OB=2，∠AOB=90°。
点C在x轴上，设C(x,0)，则OC=|x|，∠BOC=90°。
情况1：△BOC∽△AOB
则$\frac{OC}{OB}=\frac{OB}{OA}$，即$\frac{|x|}{2}=\frac{2}{4}$，
解得|x|=1，x=±1。
∵点C不与A重合，
∴C(1,0)或(-1,0)。
情况2：△BOC∽△BOA
则$\frac{OC}{OA}=\frac{OB}{OB}$，即$\frac{|x|}{4}=1$，
解得|x|=4，x=±4。
∵点C不与A重合，
∴x=-4，C(-4,0)。
综上，点C的坐标为(1,0)，(-1,0)，(-4,0)。
答案：(1,0)，(-1,0)，(-4,0)

6. 如图,在△APB 中,C,D 分别为 AP,BP 上的点.若$\frac{PC}{PB}=\frac{PD}{PA}=\frac{3}{4}$,AB=8 cm,求 CD 的长.

答案： 【解析】：本题主要考查相似三角形的判定和性质。
根据题意，有 $\frac{PC}{PB} = \frac{PD}{PA} = \frac{3}{4}$，并且 $\angle CPD = \angle BPA$（对顶角相等）。
根据相似三角形的判定条件，当两个三角形的两组对应边成比例，并且夹角相等时，这两个三角形相似。
因此，可以得出 $\triangle PCD \sim \triangle PBA$。
由于 $\triangle PCD$ 和 $\triangle PBA$ 是相似的，根据相似三角形的性质，对应边之间的比例是相等的。
即 $\frac{CD}{BA} = \frac{PC}{PB} = \frac{3}{4}$。
已知 $AB = 8\text{cm}$，代入比例式，得到 $CD = \frac{3}{4} × 8 = 6\text{cm}$。
【答案】：$CD = 6\text{cm}$。