《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

例1 如图,在一个不透明的纸箱中,装有4张标有数字的卡片,卡片除所标数字不同外无其他差别,现从中任取一张卡片,将其数字记为k,则使一元二次方程$kx^{2}= 3x+1$有实数根的概率是 (D)
A.$\frac{1}{4}$
B.1
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
 

答案： 解：一元二次方程$kx^{2}=3x + 1$化成一般式为$kx^{2}-3x - 1=0$。
∵该方程有实数根，
∴$\Delta=(-3)^{2}-4k×(-1)\geq0$且$k\neq0$，
即$9 + 4k\geq0$，解得$k\geq-\frac{9}{4}$且$k\neq0$。
纸箱中卡片数字为$-5$，$-2$，$0$，$3$，满足$k\geq-\frac{9}{4}$且$k\neq0$的$k$值为$-2$，$3$，共$2$个。
∴所求概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
答案：D

变式1-1 在六张卡片上分别写有6,$-\frac{22}{7}$,3.1415,$\pi$,0,$\sqrt{5}$这六个数,从中随机抽取一张,卡片上的数为无理数的概率是 (C)
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{6}$

答案： C

变式1-2 从-1,2,3,-6这4个数中任取2个数,分别记做m,n,那么点$(m,n)在函数y= \frac{6}{x}$图象上的概率是 (B)
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{8}$

答案： B

例2 如图,阴影部分是抛物线$y= -2x^{2}+2$与x轴围成的封闭图形,为了估计阴影部分的面积,在矩形ABCD中随机产生1000个点,落在阴影部分的点数为700,则阴影部分面积的近似值为______.

 
2.8

答案： 【解析】：
本题可先根据抛物线方程求出矩形$ABCD$的边长，进而得到其面积，再利用几何概型的概率公式建立等式，从而求出阴影部分的面积。
在抛物线$y = -2x^{2}+2$中：
当$x = 0$时，$y = 2$；
当$y = 0$时，即$-2x^{2}+2 = 0$，化简可得$x^{2}=1$，解得$x = \pm1$。
所以点$B(-1,0)$，$C(1,0)$，$A(-1,2)$，$D(1,2)$，由此可知四边形$ABCD$是边长为$2$的正方形。
根据正方形面积公式$S = 边长×边长$，可得正方形$ABCD$的面积为$2×2 = 4$。
设阴影部分的面积为$x$。
已知在矩形$ABCD$中随机产生$1000$个点，落在阴影部分的点数为$700$，根据几何概型的概率公式$P(A)=\frac{构成事件A的区域长度(面积或体积)}{试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)}$，这里落在阴影部分的概率$P=\frac{700}{1000}$，同时该概率也等于阴影部分面积与正方形$ABCD$面积之比，即$\frac{x}{4}$。
所以可列出等式$\frac{700}{1000}= \frac{x}{4}$。
求解上述等式：
$\begin{aligned}\frac{700}{1000}&=\frac{x}{4}\\1000x&=700×4\\1000x&=2800\\x&= 2.8\end{aligned}$
即阴影部分面积的近似值为$2.8$。
【答案】：
$2.8$

变式2 如图,在3×3的正方形网格中,已有两个小正方形被涂黑,再将图中剩余的小正方形中任意一个涂黑,则三个被涂黑的小正方形能构成轴对称图形的概率是 (B)
A.$\frac{1}{7}$
B.$\frac{3}{7}$
C.$\frac{4}{7}$
D.$\frac{5}{7}$

答案： B