《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

8. 小明将如图所示的两条水平线 $ l_{1},l_{2} $ 的其中一条当成x轴,向右作为正方向；两条直线 $ l_{3},l_{4} $ 的其中一条当成y轴,向上作为正方向。在此坐标平面中画出二次函数 $ y= ax^{2}-2a^{2}x+1 $ 的图象,则(C)
A.$ l_{1} $ 为x轴,$ l_{3} $ 为y轴
B.$ l_{2} $ 为x轴,$ l_{3} $ 为y轴
C.$ l_{1} $ 为x轴,$ l_{4} $ 为y轴
D.$ l_{2} $ 为x轴,$ l_{4} $ 为y轴

答案： 解：二次函数$y = ax^2 - 2a^2x + 1$，对称轴为$x = -\frac{-2a^2}{2a}=a$。
由图知抛物线开口向下，$\therefore a ＜ 0$，则对称轴$x = a ＜ 0$，即对称轴在y轴左侧。
抛物线与y轴交点为$(0,1)$，$\because 1＞0$，$\therefore$抛物线与y轴交点在x轴上方。
观察图形，抛物线顶点在两条水平线之间，与两条竖直线相交。若$l_1$为x轴，抛物线与$l_1$有两个交点，且与y轴交点在$l_1$上方；对称轴在y轴左侧，故y轴应为$l_4$（$l_3$在左侧，若$l_3$为y轴，对称轴$x=a＜0$应在$l_3$左侧，与图不符）。
综上，$l_1$为x轴，$l_4$为y轴。
答案：C

9. 若二次函数 $ y= ax^{2}+bx+c $(a,b,c是实数,a≠0)的图象经过点(a,c),则(D)
A.$ a＞0 $
B.$ a＜0 $
C.$ b＞0 $
D.$ b＜0 $

答案： 【解析】：
首先，将点$(a,c)$代入二次函数$y = ax^{2} + bx + c$中，得到：
$c = a^{3} + ab + c$，
化简后得到：
$a^{3} + ab = 0$，
由于题目条件给出$a \neq 0$，所以可以除以$a$，得到：
$a^{2} + b = 0$，
从上式可以解出$b$：
$b = - a^{2}$，
由于$a^{2}$总是非负的，且题目中$a \neq 0$，所以$a^{2} ＞ 0$，那么$b = - a^{2} ＜ 0$。
接下来，需要根据这个结论来判断选项。
A选项：$a ＞ 0$，这个结论无法从题目条件中直接得出，因为$a$可以是正数也可以是负数，只要$a \neq 0$即可。所以A选项错误。
B选项：$a ＜ 0$，同样，这个结论也无法从题目条件中直接得出，$a$的取值范围并不确定。所以B选项错误。
C选项：$b ＞ 0$，根据之前的推导，已经知道$b = - a^{2} ＜ 0$，所以C选项错误。
D选项：$b ＜ 0$，这个结论与之前的推导结果一致，所以D选项正确。
【答案】：
D

10. 若二次函数 $ y= cx^{2}-4x+2c $ 的图象的最高点在x轴上,则c的值为$-\sqrt{2}$。

答案： 解：因为二次函数$y = cx^2 - 4x + 2c$的图象有最高点，所以抛物线开口向下，即$c ＜ 0$。
又因为最高点在$x$轴上，所以二次函数的顶点纵坐标为$0$。对于二次函数$y = ax^2 + bx + c$（此处$a = c$，$b=-4$，常数项为$2c$），其顶点纵坐标为$\frac{4ac - b^2}{4a}$，则有：
$\frac{4 × c × 2c - (-4)^2}{4 × c} = 0$
化简得：
$\frac{8c^2 - 16}{4c} = 0$
分子为$0$且分母不为$0$，即$8c^2 - 16 = 0$且$4c \neq 0$。
由$8c^2 - 16 = 0$，得$c^2 = 2$，解得$c = \sqrt{2}$或$c = -\sqrt{2}$。
又因为$c ＜ 0$，所以$c = -\sqrt{2}$。
$-\sqrt{2}$

11. 如图,已知抛物线 $ C_{0} $ 的函数表达式为 $ y= x^{2}-2x $。

(1)求抛物线 $ C_{0} $ 的顶点坐标。
(2)将抛物线 $ C_{0} $ 每次向右平移2个单位,平移n次,依次得到抛物线 $ C_{1},C_{2},…,C_{n} $(n为正整数)。
①求抛物线 $ C_{1} $ 与x轴的交点 $ A_{1},A_{2} $ 的坐标；
②试确定抛物线 $ C_{n} $ 的函数表达式。

答案： 【解析】：
（1）根据抛物线的标准形式，可以通过完成平方来找到抛物线的顶点。
抛物线的函数表达式为 $y = x^2 - 2x$。
完成平方：$y = (x - 1)^2 - 1$，
因此，顶点坐标为 $(1, -1)$。
（2）①将抛物线 $C_0$ 向右平移2个单位，得到抛物线 $C_1$ 的函数表达式：
$y = (x - 1 - 2)^2 - 1 = (x - 3)^2 - 1$，
抛物线 $C_1$ 与x轴的交点即 $y = 0$ 时的 $x$ 值：
$(x - 3)^2 - 1 = 0$，
$(x - 3)^2 = 1$，
$x - 3 = \pm 1$，
$x = 4 \text{ 或 } x = 2$，
因此，交点 $A_1, A_2$ 的坐标分别为 $(2, 0), (4, 0)$。
②将抛物线 $C_0$ 每次向右平移2个单位，平移 $n$ 次后，抛物线 $C_n$ 的函数表达式为：
$y = (x - 1 - 2n)^2 - 1$，
综上，$y = (x - 1 - 2n)^2 - 1$。
【答案】：
(1) 抛物线 $C_0$ 的顶点坐标为 $(1, -1)$；
(2) ① 抛物线 $C_1$ 与x轴的交点 $A_1, A_2$ 的坐标分别为 $(2, 0), (4, 0)$；
② 抛物线 $C_n$ 的函数表达式为 $y = (x - 1 - 2n)^2 - 1$。

12. 如果抛物线 $ C_{1}:y= ax^{2}+bx+c $ 与抛物线 $ C_{2}:y= -ax^{2}+dx+e $ 的开口方向相反,顶点相同,我们称抛物线 $ C_{2} $ 是 $ C_{1} $ 的“对顶”抛物线。
(1)求抛物线 $ y= x^{2}-4x+7 $ 的“对顶”抛物线的函数表达式。
(2)将抛物线 $ y= x^{2}-4x+7 $ 的“对顶”抛物线沿其对称轴平移,使所得抛物线与原抛物线 $ y= x^{2}-4x+7 $ 形成两个交点M,N,记平移前后两抛物线的顶点分别为A,B,当四边形AMBN是正方形时,求正方形AMBN的面积。
(3)某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线 $ C_{1} $ 与 $ C_{2} $ 的顶点位于x轴上,那么系数b与d,c与e之间的关系是确定的,请写出它们之间的关系。

答案：
(1)解：$y=x^2 - 4x + 7=(x - 2)^2 + 3$，顶点为$(2,3)$，$a=1$。
“对顶”抛物线$a=-1$，顶点$(2,3)$，表达式为$y=-(x - 2)^2 + 3=-x^2 + 4x - 1$。
(2)解：原抛物线顶点$A(2,3)$，“对顶”抛物线顶点$B(2,3)$。设平移后“对顶”抛物线顶点为$(2,3 + k)$，表达式为$y=-(x - 2)^2 + 3 + k$。
联立方程：$\begin{cases}y=(x - 2)^2 + 3 \\ y=-(x - 2)^2 + 3 + k\end{cases}$，解得$x=2\pm\sqrt{\frac{k}{2}}$，$y=3 + \frac{k}{2}$。
$M(2+\sqrt{\frac{k}{2}},3+\frac{k}{2})$，$N(2-\sqrt{\frac{k}{2}},3+\frac{k}{2})$，$AB=|k|$，$MN=2\sqrt{\frac{k}{2}}=\sqrt{2k}$。
四边形$AMBN$是正方形，$AB=MN$，$|k|=\sqrt{2k}$，$k＞0$时，$k^2=2k$，$k=2$。
$AB=2$，面积$=2×2=4$。
(3)解：$b + d=0$，$c + e=0$。