《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

12.根据下列条件求函数的表达式:
(1)已知变量$ x,y,t $满足:$ y=t^{2}-4$,$ x=5-t$. 求$ y $关于$ x $的函数表达式.
(2)已知二次函数$ y=ax^{2}+bx+c$,当$ x=1 $时,$ y=2$;当$ x=-2 $时,$ y=-7$;当$ x=-1 $时,$ y=0$. 求这个二次函数的表达式.

答案： $(1)$求$y$关于$x$的函数表达式
解：
已知$x = 5 - t$，则$t=5 - x$。
将$t = 5 - x$代入$y=t^{2}-4$中，可得：
$y=(5 - x)^{2}-4$
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab + b^2$，其中$a = 5$，$b = x$，则$(5 - x)^{2}=25-10x+x^{2}$。
所以$y=25-10x+x^{2}-4=x^{2}-10x + 21$。
$(2)$求二次函数的表达式
解：
已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$，当$x = 1$时，$y = 2$；当$x=-2$时，$y=-7$；当$x=-1$时，$y = 0$。
将其分别代入函数可得方程组$\begin{cases}a×1^{2}+b×1 + c=2\\a×(-2)^{2}+b×(-2)+c=-7\\a×(-1)^{2}+b×(-1)+c=0\end{cases}$，即$\begin{cases}a + b + c=2&(1)\\4a-2b + c=-7&(2)\\a-b + c=0&(3)\end{cases}$。
用$(1)$式减去$(3)$式消去$a$和$c$：
$(a + b + c)-(a - b + c)=2-0$
$a + b + c-a + b - c=2$
$2b=2$，解得$b = 1$。
把$b = 1$代入$(1)$式得$a + 1 + c=2$，即$a+c=1$ $(4)$；
把$b = 1$代入$(2)$式得$4a-2×1 + c=-7$，即$4a+c=-5$ $(5)$。
用$(5)$式减去$(4)$式消去$c$：
$(4a + c)-(a + c)=-5 - 1$
$4a + c-a - c=-6$
$3a=-6$，解得$a=-2$。
把$a=-2$代入$(4)$式得$-2 + c=1$，解得$c = 3$。
所以二次函数的表达式为$y=-2x^{2}+x + 3$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{y=x^{2}-10x + 21}$；$(2)$$\boldsymbol{y=-2x^{2}+x + 3}$。

13.根据以下素材,探索完成任务.
| 素材1 | 如何设计打印图纸方案?如图①,正方形$ ABCD $是一张用于3D打印的产品的示意图,它由三个区域(Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ)构成. 已知$ AB=10\ \text{cm}$,点$ E,F $分别在$ BC $和$ AB $上,且$ BE=BF$,设$ BE=x(\text{cm})(0\lt x\lt10)$. |
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| 素材2 | 为了打印精准,拟在图②中的$ BC $边上设置定位坐标($ B $为坐标原点),计算机可根据点$ E $的定位坐标精准打印出图案. |
| 问题解决 | |
| 任务1 | 确定关系:用含$ x $的代数式表示区域Ⅰ的面积为___$\text{cm}^{2}$;区域Ⅱ的面积为___$\text{cm}^{2}$. |
| 任务2 | 拟定方案:为了美观,拟将区域Ⅲ分割为甲、乙两个三角形区域,并要求区域乙是含$ DE $边的等腰三角形,求所有方案中区域乙的面积. |
| 任务3 | 优化设计:经调查发现,当区域乙的面积为$ 32\ \text{cm}^{2} $时,点$ E $为最佳定位点,请写出最佳定位点$ E $的坐标. |

答案：
任务1:$\frac{1}{2}x^{2}$ $(-5x+50)$ [$\because BE=BF=x(\text{cm})$, $\therefore$区域Ⅰ的面积为$\frac{1}{2}x^{2}(\text{cm}^{2})$. $\because BE=x(\text{cm})$,$AB=BC=CD=10\ \text{cm}$,$\therefore CE=BC-BE=(10-x)\text{cm}$,$\therefore$区域Ⅱ的面积为$\frac{1}{2}×(10-x)×10=(-5x+50)\text{cm}^{2}$.]
任务2:由任务1可知,区域Ⅲ的面积为$10×10-\frac{1}{2}x^{2}-(-5x+50)=\left(-\frac{1}{2}x^{2}+5x+50\right)\text{cm}^{2}$. 分两种情况讨论:①如解图①,连结$DF$,此时$\triangle DFE$是以$DE$为腰的等腰三角形,$\therefore S_{\text{乙}}=S_{\triangle DFE}=-\frac{1}{2}x^{2}+5x+50-\frac{10×(10-x)}{2}=\left(-\frac{1}{2}x^{2}+10x\right)\text{cm}^{2}$.

②如解图②,连结$AE$,此时$\triangle ADE$是以$DE$为腰的等腰三角形,$\therefore S_{\text{乙}}=S_{\triangle ADE}=\frac{1}{2}×10×10=50(\text{cm}^{2})$. 综上所述,区域乙的面积为$\left(-\frac{1}{2}x^{2}+10x\right)\text{cm}^{2}$或$50\ \text{cm}^{2}$.
任务3:令$-\frac{1}{2}x^{2}+10x=32$,得$x_{1}=4$,$x_{2}=16$. $\because 0＜x＜10$,$\therefore x=4$,即最佳定位点$E$的坐标为$(4,0)$.