《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

10. 已知二次函数的表达式为 $ y=-x^{2}+2mx-m^{2}+4 $.
(1)求证：该二次函数图象与 $ x $ 轴一定有两个交点.
(2)若 $ m=2 $，点 $ M(n,y_{1}) $，$ N(n+2,y_{2}) $ 都在该二次函数的图象上，且 $ y_{1}y_{2}＜0 $，求 $ n $ 的取值范围.

答案： $(1)$ 证明该二次函数图象与$x$轴一定有两个交点
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$），其判别式$\Delta=b^{2}-4ac$。
在二次函数$y=-x^{2}+2mx - m^{2}+4$中，$a = - 1$，$b = 2m$，$c=-m^{2}+4$。
则$\Delta=(2m)^{2}-4×(-1)×(-m^{2}+4)$
$=4m^{2}-4(m^{2}-4)$
$=4m^{2}-4m^{2}+16$
$=16$。
因为$\Delta = 16＞0$，所以该二次函数图象与$x$轴一定有两个交点。
$(2)$ 求$n$的取值范围
当$m = 2$时，二次函数的表达式为$y=-x^{2}+4x - 4 + 4=-x^{2}+4x$。
因为点$M(n,y_{1})$，$N(n + 2,y_{2})$都在该二次函数的图象上，所以$y_{1}=-n^{2}+4n$，$y_{2}=-(n + 2)^{2}+4(n + 2)$。
先化简$y_{2}$：
$\begin{aligned}y_{2}&=-(n^{2}+4n + 4)+4n+8\\&=-n^{2}-4n - 4+4n+8\\&=-n^{2}+4\end{aligned}$
则$y_{1}y_{2}=(-n^{2}+4n)(-n^{2}+4)$。
因为$y_{1}y_{2}＜0$，即$(-n^{2}+4n)(-n^{2}+4)＜0$。
令$y_{1}y_{2}=0$，则$-n^{2}+4n = 0$，解得$n = 0$或$n = 4$；$-n^{2}+4 = 0$，解得$n = 2$或$n=-2$。
根据二次函数$y = (-n^{2}+4n)(-n^{2}+4)$的图象性质（可通过分析函数的零点将数轴分段讨论函数值正负），可得$n$的取值范围是$-2\lt n＜0$或$2\lt n＜4$。
综上，答案依次为：$(1)$ 证明见上述过程；$(2)$$\boldsymbol{-2\lt n＜0}$或$\boldsymbol{2\lt n＜4}$。

11. 已知二次函数 $ y=9x^{2}-6ax+a^{2}-b $.
(1)当 $ b=-3 $ 时，二次函数的图象经过点 $ (-1,4) $.
①求 $ a $ 的值；
②当 $ a \leq x \leq b $ 时，求一次函数 $ y=ax+b $ 的最大值及最小值.
(2)当 $ a \geq 3 $，$ b-1=2a $ 时，函数 $ y=9x^{2}-6ax+a^{2}-b $ 在 $ -\frac{1}{2}＜x＜c $ 范围内的值恒大于或等于 0，求实数 $ c $ 的取值范围.

答案：
(1)①
∵当$ b=-3 $时,二次函数$ y=9x^2-6ax+a^2-b$的图象经过点$(-1,4)$,
∴$4=9×(-1)^2-6a×(-1)+a^2-(-3)$,解得$a_1=-2,a_2=-4$,
∴$a$的值为-2或-4. ②
∵$a \leqslant x \leqslant b,b=-3$,
∴$a=-4$,
∴$-4 \leqslant x \leqslant -3$,一次函数的表达式为$ y=-4x-3$.
∵$a=-4 ＜ 0$,
∴$y$随$x$的增大而减小,
∴当$x=-4$时,函数取得最大值,为$ y=-4×(-4)-3=13$;当$x=-3$时,函数取得最小值,为$ y=-4×(-3)-3=9$.综上所述,一次函数$ y=ax+b $的最大值为13,最小值为9.
(2)
∵$a \geqslant 3,b-1=2a$,
∴$b=2a+1$,
∴$ y=9x^2-6ax+a^2-b$可化为$ y=9x^2-6ax+a^2-2a-1=9(x-\frac{a}{3})^2-2a-1$,
∴抛物线的对称轴为直线$ x=\frac{a}{3} $,$\frac{a}{3} \geqslant 1$,抛物线与x轴的交点坐标为$(\frac{a+\sqrt{2a+1}}{3},0)$,$(\frac{a-\sqrt{2a+1}}{3},0)$.
∵函数$ y=9x^2-6ax+a^2-b $在$-\frac{1}{2} ＜ x ＜ c$范围内的值恒大于或等于0,
∴$c \leqslant \frac{a-\sqrt{2a+1}}{3}$.设$\sqrt{2a+1}=t$,则$\frac{a-\sqrt{2a+1}}{3}=\frac{\frac{t^2-1}{2}-t}{3}=\frac{(t-1)^2-2}{6}$.
∵$a \geqslant 3$,
∴$t \geqslant \sqrt{7} ＞ 1$,且易知$a$越大,$t$越大,当$t ＞ 1$时,$\frac{a-\sqrt{2a+1}}{3}$的值随$t$的增大而增大,
∴实数$c$的取值范围是$-\frac{1}{2} ＜ c \leqslant \frac{3-\sqrt{7}}{3}$.