《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

根据以下素材,探索完成任务.
运用二次函数研究电缆架设问题
| 素材1 | 电缆在空中架设时,两端挂起的电缆下垂都可以近似地看成抛物线的形状.如图1-9,在一个斜坡BD上按水平距离间隔90m架设两个塔柱,每个塔柱固定电缆的位置离地面的高度为20m($AB=CD=20m$).按如图所示的方式建立平面直角坐标系(x轴在水平方向上).点A,O,E在同一水平线上,经测量,$AO=60m$,斜坡BD 的坡比为1:10(坡比指的是坡面的铅直高度和水平宽的比). | |
| 素材2 | 若电缆下垂的安全高度是13.5m,即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5m时,符合安全要求,否则存在安全隐患.(说明:直线$GH⊥x$轴且分别与直线BD和抛物线相交于点H,G.点G距离坡面的铅直高度为GH的长) | |
| 问题解决 | | |
| 任务1 | 确定电缆形状 | 求点D的坐标及下垂电缆的抛物线的函数表达式. |
| 任务2 | 判断电缆安全 | 上述这种电缆的架设是否符合安全要求？请说明理由. |
| 任务3 | 探究安装方法 | 工程队想在坡比为1:8 的斜坡上架设电缆,两个塔柱的高度仍为20m,电缆抛物线的形状与任务1相同.若电缆下垂恰好符合安全高度要求,则两个塔柱的水平距离应为多少米？ |

答案：
任务1:如解图①，过点B作$BF⊥CD$交CD的延长线于点F，交y轴于点M.

易知四边形ABFE，四边形ABMO，四边形OMFE都是矩形.$\because AB = CD = 20m$，$AO = 60m$，两个塔柱间隔90m，$\therefore EF = AB = 20m$，$BM = AO = 60m$，$BF = AE = 90m$，$\therefore OE = MF = BF - BM = 30m$.$\because$斜坡BD的坡比为$1:10$，$\therefore DF:BF = 1:10$，则$DF = 9m$，$\therefore DE = EF - DF = 11m$，$\therefore$点D的坐标为$(30, - 11)$.又$\because CD = 20m$，$\therefore CE = CD - DE = 9m$，$\therefore$点$A(-60,0)$，$O(0,0)$，$C(30,9)$.设下垂电缆的抛物线的函数表达式为$y = a(x + 60)$，将点$C(30,9)$的坐标代入，得$30×(30 + 60)a = 9$，解得$a = \frac{1}{300}$，$\therefore$下垂电缆的抛物线的函数表达式为$y = \frac{1}{300}x(x + 60)=\frac{1}{300}x^{2}+\frac{1}{5}x$.
任务2:这种电缆的架设不符合安全要求.理由如下:由任务1知$y = \frac{1}{300}x^{2}+\frac{1}{5}x$，$B(-60, - 20)$，$D(30, - 11)$.设斜坡BD的函数表达式为$y = kx + b'$，将点$B(-60, - 20)$，$D(30, - 11)$的坐标分别代入，得$\begin{cases}-60k + b' = - 20\\30k + b' = - 11\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{1}{10}\\b' = - 14\end{cases}$，$\therefore$斜坡BD的函数表达式为$y = \frac{1}{10}x - 14$，则电缆与坡面的铅直高度$h = \frac{1}{300}x^{2}+\frac{1}{5}x - (\frac{1}{10}x - 14)$，即$h = \frac{1}{300}x^{2}+\frac{1}{10}x + 14 = \frac{1}{300}(x + 15)^{2}+\frac{53}{4}$.$\because \frac{1}{300} ＞ 0$，$\therefore$当$x = - 15$时，h有最小值，$h_{最小}=\frac{53}{4}$.$\because \frac{53}{4}=13.25 ＜ 13.5$，$\therefore$这种电缆的架设不符合安全要求.
任务3:如解图②，以B为坐标原点，BA方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，则点$A(0,20)$，过点D作$DT⊥x$轴,易知点C,D,T在同一直线上.
$\because$电缆抛物线的形状与任务1相同，$\therefore$设电缆抛物线的函数表达式为$y' = \frac{1}{300}x^{2}+bx + 20$，$b ＜ 0$.设点D的坐标为$(s,t)$，则$DT = t(m)$，$BT = s(m)$.$\because$斜坡BD的坡比为$1:8$，$\therefore t:s = 1:8$，即$t = \frac{1}{8}s$，$\therefore$点$D(s,\frac{1}{8}s)$，$C(s,\frac{1}{8}s + 20)$，$\therefore$斜坡BD的函数表达式为$y = \frac{1}{8}x$，$\therefore$电缆与坡面的铅直高度$h' = \frac{1}{300}x^{2}+bx + 20 - \frac{1}{8}x = \frac{1}{300}x^{2}+(b - \frac{1}{8})x + 20$.$\because$电缆下垂恰好符合安全高度要求，$\therefore h'_{最小}=13.5$，即$\frac{4×\frac{1}{300}×20-(b - \frac{1}{8})^{2}}{4×\frac{1}{300}} = 13.5$，解得$b_{1}=\frac{1}{8}-\frac{\sqrt{78}}{30}$，$b_{2}=\frac{1}{8}+\frac{\sqrt{78}}{30}$(不合题意，舍去)，$\therefore$电缆抛物线的函数表达式为$y' = \frac{1}{300}x^{2}+(\frac{1}{8}-\frac{\sqrt{78}}{30})x + 20$.将点$C(s,\frac{1}{8}s + 20)$的坐标代入，得$\frac{1}{300}s^{2}+(\frac{1}{8}-\frac{\sqrt{78}}{30})s + 20 = \frac{1}{8}s + 20$，解得$s_{1}=10\sqrt{78}$，$s_{2}=0$(不合题意，舍去)，即$BT = 10\sqrt{78}m$，$\therefore$两个塔柱的水平距离应为$10\sqrt{78}m$.