《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

1. 一个扇形的半径是3 cm,面积是$3\pi\ \text{cm}^{2}$,则这个扇形的圆心角为(B)
A.$90^{\circ}$
B.$120^{\circ}$
C.$150^{\circ}$
D.$180^{\circ}$

答案： B

2. 如图,点A,B,C在$\odot O$上,$\angle ABC= 40^{\circ}$,连结OA,OC.若$\odot O$的半径为3,则扇形AOC(阴影部分)的面积为(D)
A.$\frac{2}{3}\pi$
B.$\pi$
C.$\frac{4}{3}\pi$
D.$2\pi$

答案： D

3. 如图,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,AB的长为半径画弧,交对角线BD于点E,则图中阴影部分的面积为(C)
A.$8-\pi$
B.$16-2\pi$
C.$8-2\pi$
D.$8-\frac{1}{2}\pi$

答案： C

4. 如图,折扇的骨柄OA长为7,折扇扇面宽度AB是折扇骨柄长的$\frac{4}{7}$,折扇张开的角度为$120^{\circ}$,则这把折扇扇面面积为(C)
A.$\frac{8}{3}\pi$
B.$\frac{10}{3}\pi$
C.$\frac{40}{3}\pi$
D.$\frac{80}{3}\pi$

答案： C

5. 一个扇形的半径为2 cm,弧长为$3\pi\ \text{cm}$,则此扇形的面积为3π$\text{cm}^{2}$.

答案： 3π

6. 如图,$\odot A,\odot B,\odot C$两两不相交,且半径都为2,则图中三个扇形(阴影部分)的面积之和为2π.

答案： 2π

7. 如图,C,D是以AB为直径的半圆上的两点,$\angle CAB= \angle DBA$,连结BC,CD.
(1)求证:CD//AB.
(2)若AB= 4,$\angle ACD= 30^{\circ}$,求阴影部分的面积.

答案： 1. （1）证明：
因为$AB$是半圆的直径，所以$\angle ACB = \angle ADB=90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
在$\triangle ABC$和$\triangle BAD$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ACB=\angle BDA\\\angle CAB = \angle DBA\\AB = BA\end{array}\right.$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABC\cong\triangle BAD$。
所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$（全等三角形的对应弧相等）。
则$\angle CDA=\angle DAB$（同弧所对的圆周角相等）。
所以$CD// AB$（内错角相等，两直线平行）。
2. （2）解：
连接$OC$，$OD$。
因为$\angle ACD = 30^{\circ}$，$CD// AB$，所以$\angle CAB=\angle ACD = 30^{\circ}$。
又因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AB = 4$，所以$BC=\frac{1}{2}AB = 2$（在直角三角形中，如果一个锐角等于$30^{\circ}$，那么它所对的直角边等于斜边的一半），$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}$。
因为$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，所以$\angle BOD=\angle AOC$。
因为$\angle CAB = 30^{\circ}$，所以$\angle BOC = 60^{\circ}$（圆心角的度数等于它所对弧的度数，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半），$\angle AOC = 120^{\circ}$，$\angle BOD = 120^{\circ}$，则$\angle DOC=180^{\circ}-\angle AOC-\angle BOD=180^{\circ}-120^{\circ}-120^{\circ}+180^{\circ}=60^{\circ}$。
因为$OC = OD=\frac{1}{2}AB = 2$（半径）。
观察图形可知$S_{\triangle ACD}=S_{\triangle OCD}$（等底等高的三角形面积相等，$CD// AB$，$\triangle ACD$与$\triangle OCD$以$CD$为底，高相等）。
所以$S_{阴影}=S_{扇形OCD}$。
根据扇形面积公式$S=\frac{n\pi r^{2}}{360}$（$n$是圆心角的度数，$r$是半径），这里$n = 60^{\circ}$，$r = 2$。
则$S_{阴影}=\frac{60\pi×2^{2}}{360}=\frac{2\pi}{3}$。
综上，（1）证明如上；（2）阴影部分面积为$\frac{2\pi}{3}$。