《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

8. 如图,在$\odot O$中,AB是弦,C是$\widehat{AB}$上一点.若∠OAB= 25°,∠OCA= 40°,则$\widehat{BC}$的度数为(A)
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°

答案： A

9. 计算机处理任务时,经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比.如图所示为同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图,当任务完成的百分比为x时,线段MN的长度记为d(x).下列描述中,正确的是(D)
A.当$x_1 ＜ x_2$时,$d(x_1) ＜ d(x_2)$
B.当$d(x_1) ＜ d(x_2)$时,$x_1 ＜ x_2$
C.当$x_1= 2x_2$时,$d(x_1)= 2d(x_2)$
D.当$x_1+x_2= 1$时,$d(x_1)= d(x_2)$

答案： D

10. 已知$\odot O$的一条弦AB把圆的周长分成1:5的两个部分,则弦AB所对的弧的度数为60°或300°.

答案： 60°或300°

11. 如图,在同圆中,若∠AOC= 2∠BOD,则AC＜(填"＞" "＜"或"= ")2BD.

答案： ＜

12. 如图,在△ABC中,∠B= 90°,∠A= 60°,以点B为圆心,AB长为半径画圆,交AC于点D,交BC于点E.求证:
(1)$\widehat{AD}= 2\widehat{ED}$.
(2)D是AC的中点.

答案： 【解析】：
本题主要考查了圆心角与弧的关系以及直角三角形的性质。
(1) 要证明$\widehat{AD}= 2\widehat{ED}$，我们需要先连接$BD$，通过证明$\angle ABD = 2\angle EBD$来得出结论。
由于$\bigtriangleup ABD$是等边三角形（因为$AB = BD$且$\angle A = 60^\circ$），所以$\angle ABD = 60^\circ$。
又因为$\angle ABC = 90^\circ$，所以$\angle EBD = 30^\circ$。
因此，$\angle ABD = 2\angle EBD$，从而$\widehat{AD}= 2\widehat{ED}$。
(2) 要证明D是AC的中点，我们可以利用直角三角形中的30°-60°-90°关系。
在$\bigtriangleup ABC$中，由于$\angle A = 60^\circ$且$\angle B = 90^\circ$，所以$\angle C = 30^\circ$。
根据30°-60°-90°直角三角形的性质，我们知道较短的直角边（即$BD$）是斜边（即$AC$）的一半。
由于$BD = AD$（因为$\bigtriangleup ABD$是等边三角形），所以$AD = \frac{1}{2}AC$，从而证明D是AC的中点。
【答案】：
证明：
(1)连接$BD$。
∵$AB = BD$，$\angle A = 60°$，
∴$\bigtriangleup ABD$是等边三角形，
∴$\angle ABD = 60°$，
∵$\angle ABC = 90°$，
∴$\angle EBD = 30°$，
∴$\angle ABD = 2\angle EBD$，
∴$\widehat{AD}= 2\widehat{ED}$。
(2)
∵$\angle C = 30°$，$\angle ABC = 90°$，
∴$AC = 2AB$，
∵由
(1)得$AD = AB$，
∴D为$AC$中点。

13. 如图,A,B是$\odot O$上的两点,∠AOB= 120°,C是$\widehat{AB}$的中点,连结AB,AC,BC.
(1)求证:AB平分∠OAC.
(2)延长OA至点P,使得AP= OA,连结PC.若$\odot O$的半径为1,求PC的长.

答案： 1. （1）证明：
连接$OC$。
因为$C$是$\widehat{AB}$的中点，所以$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，根据圆心角、弧、弦的关系定理，可得$\angle AOC = \angle BOC$。
已知$\angle AOB = 120^{\circ}$，则$\angle AOC=\angle BOC=\frac{1}{2}\angle AOB = 60^{\circ}$。
又因为$OA = OC$（同圆半径相等），所以$\triangle AOC$是等边三角形，所以$OA = AC$。
同理$OB = BC$，又$OA = OB$，所以$AC = BC$。
在$\triangle OAB$中，$OA = OB$，$\angle AOB = 120^{\circ}$，则$\angle OAB=\angle OBA = 30^{\circ}$。
在$\triangle ABC$中，$AC = BC$，$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB = 60^{\circ}$（同弧所对的圆周角是圆心角的一半），所以$\triangle ABC$是等边三角形，$\angle CAB = 60^{\circ}$。
所以$\angle OAC=\angle OAB+\angle CAB = 60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}$，$\angle OAB = 30^{\circ}$，$\angle CAB = 60^{\circ}$，$\angle OAB=\angle CAB - \angle OAC÷2$，即$AB$平分$\angle OAC$。
2. （2）解：
因为$OA = 1$，$AP = OA$，所以$AP = OA=OC = 1$，$OP=OA + AP=2$。
由（1）知$\angle AOC = 60^{\circ}$，$\angle OAC = 90^{\circ}$，$\angle ACP=\angle AOC = 60^{\circ}$（同弧所对的圆周角相等）。
在$\triangle OPC$中，$OC = 1$，$OP = 2$，$\angle POC = 60^{\circ}$。
根据余弦定理$PC^{2}=OP^{2}+OC^{2}-2\cdot OP\cdot OC\cdot\cos\angle POC$。
把$OP = 2$，$OC = 1$，$\cos\angle POC=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$代入可得：
$PC^{2}=2^{2}+1^{2}-2×2×1×\frac{1}{2}$
$PC^{2}=4 + 1-2$
$PC^{2}=3$。
所以$PC=\sqrt{3}$。
综上，（1）证明如上；（2）$PC$的长为$\sqrt{3}$。