《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

例1 如图 3-6-1,四边形ABCD 内接于$\odot O$,AB 为$\odot O$的直径,$∠ABD= 20^{\circ }$,求$∠C$的度数.

 

答案： 解：
∵AB为$\odot O$的直径，
$\therefore ∠ADB=90^{\circ }$。
$\because ∠ABD=20^{\circ }$，
$\therefore ∠A=90^{\circ }-∠ABD=90^{\circ }-20^{\circ }=70^{\circ }$。
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
$\therefore ∠A+∠C=180^{\circ }$，
$\therefore ∠C=180^{\circ }-∠A=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$。

例2 (2024秋·湖州期中)如图 3-6-2,四边形 ABCD内接于$\odot O$,点 E 在 BC 的延长线上. 若$∠BOD= $$120^{\circ }$,则$∠DCE$的度数为

(B)
A.$120^{\circ }$
B.$60^{\circ }$
C.$100^{\circ }$
D.$80^{\circ }$
 

答案： 【解析】：本题主要考查圆内接四边形的性质以及圆周角定理。
根据圆周角定理，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
已知$∠BOD = 120^{\circ }$，这是圆心角，而$∠A$是这条弧$BD$所对的圆周角，所以$∠A=\frac{1}{2}∠BOD = 60^{\circ }$。
根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角。
在四边形$ABCD$内接于圆$O$的情况下，$∠DCE$是圆内接四边形$ABCD$的一个外角，$∠A$是与$∠DCE$相对的内对角，所以$∠DCE = ∠A$。
因为已经求得$∠A = 60^{\circ }$，所以$∠DCE = 60^{\circ }$。
【答案】：B。

A组
1. 如图,四边形 ABCD 是$\odot O$的内接四边形,$∠CBE$是它的一个外角,若$∠CBE= 115^{\circ }$,则$∠D$的度数为

(A)
A.$115^{\circ }$
B.$95^{\circ }$
C.$75^{\circ }$
D.$65^{\circ }$

答案： A

2. 如图,$\odot O是\triangle ABC$的外接圆,$∠A= 72^{\circ }$,过点 O 作BC 的垂线交$\widehat {BC}$于点 D,连结 BD,则$∠D$的度数为

(B)
A.$64^{\circ }$
B.$54^{\circ }$
C.$46^{\circ }$
D.$36^{\circ }$

答案： B

3. 已知四边形 ABCD 内接于$\odot O,∠A:∠B:∠C:∠D= 2:m:3:n$,则 m,n满足条件 (C)
A.$2m= 3n$
B.$3m= 2n$
C.$m+n= 5$
D.$m+n= 180^{\circ }$

答案： C