《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

**变式1-2** 如图3-3，$A$，$B$，$C$是半径为1的$\odot O$上的三个点，若$AB = \sqrt{2}$，$\angle CAB = 30^{\circ}$，则$\angle ABC$的度数为（C）

A.$95^{\circ}$
B.$100^{\circ}$
C.$105^{\circ}$
D.$110^{\circ}$

答案： C

**例2** 如图3-4，$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆，且$AB = AC$，四边形$AB - CD$是平行四边形，边$CD$与$\odot O$交于点$E$，连结$AE$。
(1) 求证：$AE = AD$。
(2) 若$\angle B = 72^{\circ}$，求证：$E$是$\overset{\frown}{AC}$的中点。
 

答案： 【解析】：
(1)本题考查平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定。首先利用平行四边形的性质以及圆内接四边形的性质得出$\angle D = \angle AED$，再利用等腰三角形的判定得出答案。
证明：
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore \angle ABC = \angle D$（平行四边形对角相等）。
$\because$四边形$ABCE$为$\odot O$的内接四边形，
$\therefore \angle ABC + \angle AEC = 180^{\circ}$（圆内接四边形对角互补）。
$\because \angle AED + \angle AEC = 180^{\circ}$（平角定义），
$\therefore \angle ABC = \angle AED$（同角的补角相等），
$\therefore \angle D = \angle AED$（等量代换），
$\therefore AE = AD$（等角对等边）。
(2)本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，圆周角定理。利用等腰三角形的性质以及平行线的性质得出$\angle ACE$的度数，再利用圆周角定理得出$\overset{\frown}{AE} = \overset{\frown}{CE}$，进而得出答案。
证明：
$\because AB = AC$，$\angle B = 72^{\circ}$，
$\therefore \angle ACB = 72^{\circ}$（等边对等角），
$\angle AEC = 180^{\circ} - \angle B = 108^{\circ}$（圆内接四边形对角互补）。
$\therefore \angle BAC = 180^{\circ} - 72^{\circ} × 2 = 36^{\circ}$（三角形内角和定理）。
$\because AB // CD$，
$\therefore \angle ACE = \angle BAC = 36^{\circ}$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore \angle EAC = 180^{\circ} - \angle AEC - \angle ACE = 36^{\circ}$（三角形内角和定理），
$\therefore \angle ACE = \angle EAC$，
$\therefore \overset{\frown}{AE} = \overset{\frown}{CE}$（等角对等弧），
即$E$是$\overset{\frown}{AC}$的中点。
【答案】：
(1)证明见解析；
(2)证明见解析。

**变式2-1** 如图3-5，四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形，若$\angle BCD = 121^{\circ}$，则$\angle BOD$的度数为（C）

A.$138^{\circ}$
B.$121^{\circ}$
C.$118^{\circ}$
D.$112^{\circ}$

答案： C

**变式2-2** 如图3-6，$\odot O$是$\triangle ABC$的外接圆，且$AB = AC$，$\angle BAC = 36^{\circ}$，在$\overset{\frown}{AB}$上取点$D$（点$D$不与点$A$，$B$重合），连结$BD$，$AD$，则$\angle BAD + \angle ABD$的度数为（C）

A.$60^{\circ}$
B.$62^{\circ}$
C.$72^{\circ}$
D.$73^{\circ}$

答案： C

**例3** 如图3-7，小区内有个圆形花坛，点$C$在弦$AB$上，$AC = 11$，$BC = 21$，$OC = 13$，则这个花坛的面积为______。
 
 
 

答案：
解：连结$OB$，过点$O$作$OD \perp AB$于点$D$。
$\because OD \perp AB$，$OD$过圆心，$AC=11$，$BC=21$，
$\therefore AB=AC+BC=32$，
$\therefore BD=AD=\frac{1}{2}AB=16$，
$\therefore CD=BC-BD=21-16=5$。
在$Rt\triangle COD$中，$OD^{2}=OC^{2}-CD^{2}=13^{2}-5^{2}=144$。
在$Rt\triangle BOD$中，$OB^{2}=OD^{2}+BD^{2}=144+16^{2}=400$。
$\therefore$花坛的面积为$OB^{2}\pi=400\pi$。
$400\pi$