《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

例3 如图1-3,抛物线$y=ax^{2}+bx+c(a≠0)$的对称轴是直线$x=-2$,并与x轴相交于A,B两点,若$OA=5OB$,给出下列结论:①$abc＞0$;②$(a+c)^{2}-b^{2}=0$;③$9a+4c＜0$;④若m为任意实数,则$am^{2}+bm+2b≥4a$.其中正确结论的个数是（C）

A.1
B.2
C.3
D.4
 

答案： 解：由图可知，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$，与$y$轴交于负半轴，
$\therefore a＞0$，$-\frac{b}{2a}=-2$，$c＜0$，
$\therefore b=4a＞0$，$\therefore abc＜0$，故①错误；
$\because OA=5OB$，设$OB=t$，则$OA=5t$，
$\because$对称轴为$x=-2$，$A$在$x$轴负半轴，$B$在$x$轴正半轴，
$\therefore -2 - (-5t) = t - (-2)$，解得$t=1$，
$\therefore A(-5,0)$，$B(1,0)$，
当$x=1$时，$a + b + c = 0$，
$\therefore (a + c)^2 - b^2=(a + b + c)(a + c - b)=0$，故②正确；
$\because b=4a$，$a + b + c = 0$，$\therefore c=-5a$，
$\therefore 9a + 4c=9a - 20a=-11a＜0$，故③正确；
抛物线顶点坐标为$(-2,4a - 2b + c)$，
$\because am^2 + bm + c\geq4a - 2b + c$，
$\therefore am^2 + bm + 2b\geq4a$，故④正确。
综上，正确结论的个数是$3$。
答案：C

变式3-1 已知二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a≠0)$的图象如图1-4所示,有下面5个结论:①$abc＜0$;②$b＜a+c$;③$4a+2b+c＞0$;④$2c＜3b$;⑤$a+b＜m(am+b)$(m是不为1的实数).其中正确结论的个数是（B）


A.2
B.3
C.4
D.5

答案： B