《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

11.已知抛物线y= a(x-2)^2+c经过点
A(-2,0)和点C(0,$\frac{9}{4}$),与αx轴相交于另
一点B,顶点为D.
(1)求抛物线的函数表达式,并写出顶点
D的坐标.
(2)如图,点E,F分别在线段AB,BD上
(点E不与点A,B重合),且∠DEF=
∠DAB,DE= EF,请直接写出线段BE
的长.

答案： 1. （1）
解：已知抛物线$y = a(x - 2)^{2}+c$经过点$A(-2,0)$和点$C(0,\frac{9}{4})$。
将点$A(-2,0)$代入$y = a(x - 2)^{2}+c$得：$0=a(-2 - 2)^{2}+c$，即$16a + c=0$ ①；
将点$C(0,\frac{9}{4})$代入$y = a(x - 2)^{2}+c$得：$\frac{9}{4}=a(0 - 2)^{2}+c$，即$4a + c=\frac{9}{4}$ ②。
用①$-$②消去$c$：
$(16a + c)-(4a + c)=0-\frac{9}{4}$。
$16a + c - 4a - c=-\frac{9}{4}$。
$12a=-\frac{9}{4}$，解得$a =-\frac{3}{16}$。
把$a =-\frac{3}{16}$代入②得：$4×(-\frac{3}{16})+c=\frac{9}{4}$。
$-\frac{3}{4}+c=\frac{9}{4}$，$c=\frac{9}{4}+\frac{3}{4}=3$。
所以抛物线的函数表达式为$y =-\frac{3}{16}(x - 2)^{2}+3$，展开$y =-\frac{3}{16}(x^{2}-4x + 4)+3=-\frac{3}{16}x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$。
对于抛物线$y = a(x - h)^{2}+k$（$a\neq0$），其顶点坐标为$(h,k)$，所以顶点$D$的坐标为$(2,3)$。
2. （2）
答案：$3$。
提示：
先求出$B$点坐标，令$y = 0$，则$0=-\frac{3}{16}(x - 2)^{2}+3$，$(x - 2)^{2}=16$，$x-2=\pm4$，$x_1=-2$，$x_2 = 6$，所以$B(6,0)$。
求出直线$BD$的解析式：设$y_{BD}=mx + n$，把$B(6,0)$，$D(2,3)$代入得$\begin{cases}6m + n=0\\2m + n=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-\frac{3}{4}\\n=\frac{9}{2}\end{cases}$，$y_{BD}=-\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}$。
因为$\angle DEF=\angle DAB$，$\angle DEB=\angle DAB+\angle ADE$（三角形外角性质），$\angle DEB=\angle DEF+\angle BEF$，所以$\angle ADE=\angle BEF$。
又因为$DE = EF$，$\angle DAE=\angle EBF = 180^{\circ}-\angle DAB$（$A$，$B$在$x$轴上），可证$\triangle ADE\cong\triangle BEF(AAS)$（通过作辅助线，利用角角边证明全等），$AE = BF$。
设$E(x,0)$，$A(-2,0)$，$B(6,0)$，$AB = 8$，$AE=x + 2$，$BE=6 - x$，$BD=\sqrt{(6 - 2)^{2}+(0 - 3)^{2}}=5$。
由相似或全等关系可得$BE = 3$。

12.“二次函数的图象"拓展学习:

(1)问题:
如图①,在平面直角坐标系中,抛物线y=
$ α(x-2)^2-4$经过原点O,与x轴的另一
个交点为A,则a=1,点A的坐标
为(4,0).
(2)操作:
将图①中的抛物线在x轴下方的部分沿x
轴翻折到x轴上方,如图②.直接写出翻
折后的这部分抛物线对应的函数表达式:
$y=-(x-2)^2+4$(不要求写出x的
取值范围).
(3)探究:
如图③,若抛物线$y= (x-h)^2-4$与x轴
相交于A,B两点(点A在点B的左侧),
将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折,
得到了一个“W"形状的新图象.
①求A,B两点的坐标(用含h的式子
表示);
②当点A,B在y轴两侧时,h的取值范围
是$-2\lt h\lt2$;
③直接写出该“W”形状的新图象与直线
y= 4的交点个数是4.
①解：令$y=0$，则$(x-h)^2-4=0$
$(x-h)^2=4$
$x-h=\pm2$
$x=h\pm2$
∵点A在点B的左侧
∴$A(h-2,0)$，$B(h+2,0)$

答案：
(1)1；(4,0)
(2)$y=-(x-2)^2+4$
(3)①解：令$y=0$，则$(x-h)^2-4=0$
$(x-h)^2=4$
$x-h=\pm2$
$x=h\pm2$
∵点A在点B的左侧
∴$A(h-2,0)$，$B(h+2,0)$
②$-2\lt h\lt2$
③4