《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

7.在平面直角坐标系中,已知二次函数y=
$ m(x+1)^2+4n(m≠0,$且m,n为实数).
(1)求二次函数图象的对称轴.
(2)已知当x= 0,3,4时,对应的函数值分
别为p,q,r.若2q＜p十r,求证:m＜0.
B组

答案： 【解析】：
(1) 对于二次函数 $y = m(x + 1)^2 + 4n$，其对称轴为 $x = -1$。
这是因为二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的对称轴为 $x = -\frac{b}{2a}$，
而对于 $y = m(x + 1)^2 + 4n$，可以看作 $a = m$，$b = 2m$，
所以对称轴为 $x = -\frac{2m}{2m} = -1$。
(2) 已知当 $x = 0, 3, 4$ 时，对应的函数值分别为 $p, q, r$。
则 $p = m(0 + 1)^2 + 4n = m + 4n$，
$q = m(3 + 1)^2 + 4n = 16m + 4n$，
$r = m(4 + 1)^2 + 4n = 25m + 4n$。
由 $2q ＜ p + r$，代入 $p, q, r$ 的表达式，
得 $2(16m + 4n) ＜ m + 4n + 25m + 4n$，
化简得 $32m + 8n ＜ 26m + 8n$，
进一步化简得 $6m ＜ 0$，
所以 $m ＜ 0$。
【答案】：
(1) 二次函数图象的对称轴为 $x = -1$。
(2) 证明：
$p = m + 4n$，
$q = 16m + 4n$，
$r = 25m + 4n$，
∵ $2q ＜ p + r$，
∴ $2(16m + 4n) ＜ m + 4n + 25m + 4n$，
∴ $32m + 8n ＜ 26m + 8n$，
∴ $6m ＜ 0$，
∴ $m ＜ 0$。

8.将抛物线$y= -x^2$绕顶点旋转180°,再向上平移2个单位,则平移后的抛物线的函数表达式为 (A)
$A.y= x^2+2
$B.y= x^2-2 $
$C.y= -(x+2)^2
$D.y= (x+2)^2$

答案： 解：抛物线$y=-x^2$的顶点为$(0,0)$。
绕顶点旋转180°后，二次项系数变为$1$，抛物线表达式为$y=x^2$。
向上平移2个单位，根据平移规律“上加下减”，得$y=x^2 + 2$。
答案：A

9.已知抛物线$y= a(x-h)^2+k$与x轴有两个交点A(-1,0),B(3,0),且抛物线y=$ a(x-h-m)^2+k$与x轴的一个交点是(4,0),则m的值为 (C)
A.5
B.-1
C.5或1
D.-5或-1

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的平移性质和对称性质。
首先，由于抛物线$y = a(x - h)^{2} + k$与$x$轴交于点$A(-1,0)$和$B(3,0)$，可以确定该抛物线的对称轴为直线$x = h$，且$h$是$A$和$B$的中点，即$h = \frac{-1+3}{2} = 1$。
接着，考虑抛物线$y = a(x - h - m)^{2} + k$。由于平移不改变抛物线的开口方向和宽度，因此这条抛物线与$x$轴的交点也会相对于原抛物线平移$m$个单位。
已知这条抛物线与$x$轴的一个交点是$(4,0)$，需要分两种情况讨论：
如果$4$是平移后的$A$点（原$x=-1$），那么平移量$m = 4 - (-1) = 5$。
如果$4$是平移后的$B$点（原$x=3$），那么平移量$m = 4 - 3 = 1$。
因此，$m$的可能值为$5$或$1$。
【答案】：
C. $5$或$1$

10.如图,抛物线y= $\frac{1}{3}$(x-4)^2+h与x轴的
一个交点为A(6,0).,与y轴相交于点B.
(1)求h的值及点B的坐标.
(2)将该抛物线向右平移m(m＞0)个单位后,与y轴相交于点C,且点A的对应点
为D.若OC= OD,求m的值.

答案： 【解析】：
(1)要求$h$的值及点B的坐标，我们可以将已知的交点$A(6,0)$代入抛物线方程$y= \frac{1}{3}(x-4)^2+h$。
步骤如下：
代入点A的坐标到抛物线方程中，得到：
$0 = \frac{1}{3}(6-4)^2+h$，
$0 = \frac{1}{3}× 4+h$，
$0 = \frac{4}{3}+h$，
$h = - \frac{4}{3}$，
所以，抛物线的方程为：
$y = \frac{1}{3}(x-4)^2 - \frac{4}{3}$，
为了找到与y轴的交点B，我们令$x=0$，代入方程得：
$y = \frac{1}{3}(0-4)^2 - \frac{4}{3}$，
$y = \frac{1}{3} × 16 - \frac{4}{3}$，
$y = \frac{16}{3} - \frac{4}{3}$，
$y = 4$，
所以，点B的坐标为$(0,4)$。
(2)平移后的抛物线方程可以通过将$x$替换为$x-m$得到，即：
$y = \frac{1}{3}(x-m-4)^2 - \frac{4}{3}$，
令$x=0$，我们可以求得与y轴的交点C的$y$坐标：
$y = \frac{1}{3}(0-m-4)^2 - \frac{4}{3}$，
$y = \frac{1}{3}(m+4)^2 - \frac{4}{3}$，
所以，点C的坐标为$(0,\frac{1}{3}(m+4)^2 - \frac{4}{3})$。
由于点A向右平移$m$个单位，其对应点D的坐标为$(6+m,0)$。
根据题意，$OC=OD$，所以我们有：
$\frac{1}{3}(m+4)^2 - \frac{4}{3} = 6+m$，
$(m+4)^2 -4= 18+3m$，
$m^2+8m+16 -4= 18+3m$，
$m^2+5m-6=0$，
$(m-1)(m+6)=0$，
解得$m=1$或$m=-6$，
由于$m＞0$，
所以$m=-6$舍去，
即$m$的值为$1$。
【答案】：
(1)$h = - \frac{4}{3}$；点B的坐标为$(0,4)$
(2)$m=1$