《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

8. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D为AB上一点,且AD=2. 若在AC边上取一点E,使△ADE与△ABC相似,求AE的长.

答案： $\frac{8}{5}$或$\frac{5}{2}$.

9. 如图,在矩形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 AD,DC 上,△ABE∽△DEF,AB=6,DE=2,DF=3,则 BE 的长为 （C)
A. 12 B. B. C.$3\sqrt{13}$ D.$3\sqrt{15}$

答案： C

10. 如图,点 C,D 在线段 AB 上,△PCD 是等边三角形,当△ACP∽△PDB时,∠APB的度数为120°.

答案： 120°

11. 从三角形(非等腰三角形) 的一个顶点引出一条射线与对边相交,该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果其中一个小三角形是等腰三角形,另一个小三角形与原三角形相似,那么我们把这条线段叫做这个三角形的 "完美分割线".如图,在△ABC'中,DB=1,BC=2,CD'是△ABC的"完美分割线",且△ACD是以CD为底边的等腰三角形,则CD的长为$\frac{3}{2}$.

答案： $\frac{3}{2}$

12. 一个钢筋三角形框架三边长分别是20 cm,50 cm,60 cm. 现要再做一个与其相似的钢筋三角形框架,而只有长为30 cm 和50 cm 的两根钢筋,要求以其中一根为一边 ,从另一根上截下两段(允许有余料)作为其余两边 ,则不同的截法有多少种? 请说明理由.

答案： 有2种 

13. 如图 ,在△ABC 中,AB=4 cm,AC=3 cm,BC=6 cm,D 是 AC 上一点,AD=2 cm,点 P 从点 C 出发,沿 C→B→A 方向以1 cm/s 的速度运动至点 A 处,设运动时间为 t(s).
(1)当点 P 在线段 BC 上运动时,BP=_______cm；当点 P 在线段 AB 上运动时,BP=_______cm. (请用含 t 的代数式表示)
(2)线段 DP 将△ABC 分成两部分,当其中一部分与△ABC 相似时,求出所对应的所有 t 的值.

答案：

(1)(6−t)　(t−6)　
(2)分两种情况讨论:①如解图①,当点P在BC上时.当△CPD∽△CAB时,$\frac{CP}{CA}=\frac{CD}{CB}$,$\therefore\frac{t}{3}=\frac{1}{6}$,解得$t=\frac{1}{2}$.当△CDP'∽△CAB时,$\frac{CD}{CA}=\frac{CP'}{CB}$,$\therefore\frac{1}{3}=\frac{t}{6}$,解得t=2.　 ②如解图②,当点P在AB上时.当△ADP∽△ACB时,$\frac{AP}{AB}=\frac{AD}{AC}$,$\therefore\frac{10 - t}{4}=\frac{2}{3}$,解得$t=\frac{22}{3}$.当△ADP'∽△ABC时,$\frac{AP'}{AC}=\frac{AD}{AB}$,$\therefore\frac{10 - t}{3}=\frac{2}{4}$,解得$t=\frac{17}{2}$.综上所述，满足条件的t的值为$\frac{1}{2}$或2或$\frac{22}{3}$或$\frac{17}{2}$.