《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

7. 小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜.
(1)小明胜是 随机（填“必然”“随机”或“不可能”）事件.
(2)这个游戏对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由.
解：画树状图如下：
第一个转盘（A盘）有1，2，3三种情况，第二个转盘（B盘）有2，3，4三种情况。
树状图：
从A盘开始，若A盘为1，B盘分别为2，3，4，和分别为1+2=3，1+3=4，1+4=5；
若A盘为2，B盘分别为2，3，4，和分别为2+2=4，2+3=5，2+4=6；
若A盘为3，B盘分别为2，3，4，和分别为3+2=5，3+3=6，3+4=7。
总共3×3=9种等可能的结果。
其中和为奇数的有4种情况（3，5，5，7），和为偶数的有5种情况（4，4，6，6）。
P（小明胜）=4/9，P（小亮胜）=5/9。
因为4/9≠5/9，所以这个游戏对双方不公平。

答案： 1. （1）
因为转动两个转盘，数字之和可能是奇数，也可能是偶数，所以小明胜是随机事件。
2. （2）
解：画树状图如下：
第一个转盘（A盘）有$1$，$2$，$3$三种情况，第二个转盘（B盘）有$2$，$3$，$4$三种情况。
树状图：
从A盘开始，若A盘为$1$，B盘分别为$2$，$3$，$4$，和分别为$1 + 2=3$，$1+3 = 4$，$1 + 4=5$；
若A盘为$2$，B盘分别为$2$，$3$，$4$，和分别为$2 + 2=4$，$2+3 = 5$，$2 + 4=6$；
若A盘为$3$，B盘分别为$2$，$3$，$4$，和分别为$3 + 2=5$，$3+3 = 6$，$3 + 4=7$。
总共$3×3 = 9$种等可能的结果。
其中和为奇数的有$4$种情况（$3$，$5$，$5$，$7$），和为偶数的有$5$种情况（$4$，$4$，$6$，$6$）。
$P$（小明胜）$=\frac{4}{9}$，$P$（小亮胜）$=\frac{5}{9}$。
因为$\frac{4}{9}\neq\frac{5}{9}$，所以这个游戏对双方不公平。
综上，（1）随机；（2）不公平。

8. 从2023,2024,2025,2026,2027这五个数中任意抽取三个数，抽到中位数是2024的三个数的概率是$\frac{3}{10}$.

答案： $\frac{3}{10}$

9. 在-2,-1,0,1,2这五个数中任取两个数，分别记为m,n，则二次函数$ y=(x-m)^2+n $的图象的顶点在坐标轴上的概率是$\frac{2}{5}$.

答案： $\frac{2}{5}$

10. 我国数学家陈景润从哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想：“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如20=3+17. 已知只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数.
(1)若从7,11,19,23这4个素数中随机抽取1个，则抽到的数是7的概率是 $\frac{1}{4}$.
(2)从7,11,19,23这4个素数中随机抽取1个数，再从余下的3个数中随机抽取1个数，用画树状图或列表的方法，求抽到的两个素数之和等于30的概率.
$\frac{1}{3}$

答案： $(1)$ 求抽到的数是$7$的概率
根据古典概型概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$n$是基本事件总数，$m$是事件$A$包含的基本事件数）。
从$4$个素数$7$，$11$，$19$，$23$中随机抽取$1$个，基本事件总数$n = 4$，抽到的数是$7$的基本事件数$m = 1$。
所以抽到的数是$7$的概率$P=\frac{1}{4}$。
$(2)$ 求抽到的两个素数之和等于$30$的概率
- **步骤一：列表列举所有可能的结果
设$7$，$11$，$19$，$23$分别为$A$，$B$，$C$，$D$。
列表如下：
|第一次|第二次|
|:--:|:--:|
| $A$ | $B$，$C$，$D$ |
| $B$ | $A$，$C$，$D$ |
| $C$ | $A$，$B$，$D$ |
| $D$ | $A$，$B$，$C$ |
从$4$个素数中随机抽取$1$个数，再从余下的$3$个数中随机抽取$1$个数，总的基本事件数$n=4×3 = 12$种。
步骤二：找出两个素数之和等于$30$的情况
$7 + 23=30$，$11 + 19 = 30$，即$(7,23)$，$(23,7)$，$(11,19)$，$(19,11)$，共$m = 4$种情况。
步骤三：根据概率公式计算概率
根据古典概型概率公式$P=\frac{m}{n}$，这里$n = 12$，$m = 4$，所以$P=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
综上，答案依次为：$(1)$$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$；$(2)$$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$。

11. 如图，四张背面完全相同的纸牌用①②③④表示，正面分别写有四个不同的条件，小明将这四张纸牌背面朝上洗匀后，先随机抽取一张（不放回），再随机抽取一张.

(1)列出两次摸牌先后出现的所有可能的结果（用①②③④表示）.
(2)以两次摸出的牌面上的结果为条件，求能判断四边形ABCD为平行四边形的概率.

答案：

(1)画树状图如解图所示.
∴两次摸牌先后出现的所有可能的结果为①②,①③,①④,②①,②③,②④,③①,③②,③④,④①,④②,④③.
(2)能判断四边形ABCD为平行四边形的结果是①③，①④,②③,③①,③②,④①这6种,
∴能判断四边形ABCD为平行四边形的概率是$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.