《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

7. 如图,E 是△ABC 的边 BC 上的点,AB=18,AE=15.若∠BAE=∠CAD,$\frac{AC}{AD}=\frac{6}{5}$,求证:∠C=∠D.

答案： 证明：
∵∠BAE=∠CAD，
∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，即∠BAC=∠DAE。
∵AB=18，AE=15，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{18}{15}=\frac{6}{5}$。
又
∵$\frac{AC}{AD}=\frac{6}{5}$，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}$。
在△ABC和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AD}\\∠BAC=∠DAE\end{array}\right.$
∴△ABC∽△AED（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
∴∠C=∠D。

在△ABC 中,E 是 AB 上一点,AE=2，BE=3,AC=4. 在 AC 上取一点 D，使△ADE 与△ABC 相似,则 AD 的长为 （C）
A.$\frac{8}{5}$
B.$\frac{5}{2}$
C.$\frac{8}{5}$或$\frac{5}{2}$
D.$\frac{8}{5}$或$\frac{2}{5}$

答案： 解：
情况1： 当△ADE∽△ACB时，
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
AB=AE+BE=2+3=5，
$\frac{AD}{4}=\frac{2}{5}$，
$AD=\frac{8}{5}$。
情况2： 当△ADE∽△ABC时，
$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，
$\frac{AD}{5}=\frac{2}{4}$，
$AD=\frac{5}{2}$。
综上，AD的长为$\frac{8}{5}$或$\frac{5}{2}$。
答案：C

9. 如图①,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D 是 AB 上一点,且 AD=2,过点 D 作 DE//BC,交 AC 于点 E,将△ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转到图②的位置,则图②中$\frac{BD}{CE}$的值为 $\frac{4}{5}$.

答案： 解：
∵∠ABC=90°，AB=8，AD=2，
∴DB=AB-AD=6，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC（平行线分线段成比例定理推论），
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$，
由旋转性质得：∠DAE=∠BAC，AD=AD'=2，AE=AE'，
∴∠DAB=∠EAC（等式性质），
∵$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{4}$，
∴△ADB∽△AEC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}=\frac{1}{4}$？？？此处应为$\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}$？不，相似比是$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{4}$，所以$\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}$错误，应为$\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}$？不，△ADB∽△AEC，对应边是AD与AE，AB与AC，BD与CE，所以$\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}=\frac{1}{4}$？
纠正：
∵△ADB∽△AEC，相似比为$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$？不，$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{4}$，所以相似比为$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{4}$，因此$\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}=\frac{1}{4}$？
最终，$\frac{BD}{CE}=\frac{1}{4}$的倒数？不，正确应为：
∵△ADB∽△AEC，$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}=\frac{1}{4}$？
不，正确计算：
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$，
由△ADE∽△ABC得AE=$\frac{1}{4}AC=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}$，
△ADB∽△AEC，$\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}=\frac{2}{\frac{5}{2}}=\frac{4}{5}$？
此前步骤错误，正确应为：
∵△ADB∽△AEC，相似比为$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$？
正确相似比是$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{4}$，所以$\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{4}{5}$。
答案：$\frac{4}{5}$

10. 如图,AD 与 BC 相交于点 O,EF 过点 O，且与 AB 相交于点 E,与 CD 相交于点 F，BO=1,CO=3,AO=$\frac{3}{2}$,DO=$\frac{9}{2}$.
(1)求证:∠A=∠D.
(2)若 AE=BE,求证:CF=DF.

答案：
(1)证明：
∵$\frac{AO}{DO}=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{9}{2}}=\frac{1}{3}$，$\frac{BO}{CO}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AO}{DO}=\frac{BO}{CO}$，
又
∵∠AOB=∠DOC，
∴△AOB∽△DOC，
∴∠A=∠D.
(2)证明：
∵AE=BE，
∴设AE=BE=x，则AB=2x，
∵△AOB∽△DOC，
∴$\frac{AB}{DC}=\frac{AO}{DO}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{2x}{DC}=\frac{1}{3}$，
∴DC=6x，
∵∠A=∠D，∠AOE=∠DOF，
∴△AOE∽△DOF，
∴$\frac{AE}{DF}=\frac{AO}{DO}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{x}{DF}=\frac{1}{3}$，
∴DF=3x，
∵DC=6x，
∴CF=DC-DF=6x-3x=3x，
∴CF=DF.

11. 如图,AB=3AC,BD=3AE,BD//AC,点 B,A,E 在同一条直线上.
(1)求证:△ABD∽△CAE.
(2)若 AC=BD=a,AD=2$\sqrt{2}$BD,求 BC 的长(用含 a 的代数式表示).

答案：
(1)证明：
∵BD//AC，点B,A,E在同一条直线上，
∴∠ABD=∠CAE，
∵AB=3AC，BD=3AE，
∴$\frac{AB}{CA}=\frac{BD}{AE}=3$，
∴△ABD∽△CAE.
(2)解：
∵AC=BD=a，AB=3AC，
∴AB=3a，
∵AD=2$\sqrt{2}$BD，
∴AD=2$\sqrt{2}$a，
∵BD//AC，点B,A,E在同一条直线上，
∴∠BAD=180°-∠CAE，
由
(1)知△ABD∽△CAE，
∴∠ADB=∠CEA，$\frac{AD}{CE}=\frac{AB}{CA}=3$，
∴CE=$\frac{AD}{3}=\frac{2\sqrt{2}a}{3}$，
设AE=x，
∵BD=3AE，
∴a=3x，即x=$\frac{a}{3}$，
在△ABD中，AB=3a，BD=a，AD=2$\sqrt{2}$a，
∵AB²=9a²，BD²+AD²=a²+(2$\sqrt{2}$a)²=a²+8a²=9a²，
∴AB²=BD²+AD²，
∴∠ADB=90°，
∴∠CEA=∠ADB=90°，
∵点B,A,E在同一条直线上，AB=3a，AE=$\frac{a}{3}$，
∴BE=AB+AE=3a+$\frac{a}{3}=\frac{10a}{3}$，
在Rt△BEC中，BC²=BE²+CE²=($\frac{10a}{3}$)²+($\frac{2\sqrt{2}a}{3}$)²=$\frac{100a²}{9}+\frac{8a²}{9}=\frac{108a²}{9}=12a²$，
∴BC=2$\sqrt{3}$a.