《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

变式3 根据以下素材，完成探索任务.
|素材1|如图①，△ABC是腰长为60cm的等腰直角三角形卡纸，甲、乙、丙三名同学分别用这样的卡纸尝试裁剪出不一样的矩形纸片.|
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|素材2|甲同学按如图②所示的方式裁剪，想裁出面积为800cm²的矩形纸片，乙同学按如图③所示的方式裁剪，想裁出两边长之比为1:2的矩形纸片，丙同学想裁出面积最大的矩形纸片.|
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|问题解决|
|任务1|请帮甲同学计算出符合要求的矩形纸片的两边长.|
|任务2|请求出符合乙同学裁剪方案的矩形纸片的面积.|
|任务3|请帮丙同学计算出面积最大的矩形纸片的面积.|

答案： 任务1
解：设$AD = x\mathrm{cm}$，则$DE = x\mathrm{cm}$，$FC = x\mathrm{cm}$，$DF=(60 - x)\mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式$S = 长×宽$，可得$x(60 - x)=800$。
即$x^{2}-60x + 800 = 0$，对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 1$，$b=-60$，$c = 800$，由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$可得：
$x=\frac{60\pm\sqrt{(-60)^{2}-4×1×800}}{2×1}=\frac{60\pm\sqrt{3600 - 3200}}{2}=\frac{60\pm\sqrt{400}}{2}=\frac{60\pm20}{2}$。
解得$x_{1}=20$，$x_{2}=40$。
当$x = 20$时，$60 - x=40$；当$x = 40$时，$60 - x = 20$。
所以矩形纸片的两边长分别为$20\mathrm{cm}$和$40\mathrm{cm}$。
任务2
解：设$MN = y\mathrm{cm}$，则$MQ = 2y\mathrm{cm}$。
因为$\triangle BMQ$和$\triangle ABC$相似，$\triangle ABC$是等腰直角三角形，$\angle BAC=90^{\circ}$，$AB = AC = 60\mathrm{cm}$。
$\triangle BMQ$也是等腰直角三角形，则$AQ = MQ = 2y\mathrm{cm}$，$AN = y\mathrm{cm}$。
由$AQ+AN=60$，即$2y + y=60$，解得$y = 20$。
所以$MN = 20\mathrm{cm}$，$MQ = 40\mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式$S = MN× MQ$，可得矩形面积$S=20×40 = 800\mathrm{cm}^{2}$。
任务3
解：设$AD = m\mathrm{cm}$，则$DE = m\mathrm{cm}$，$FC = m\mathrm{cm}$，$DF=(60 - m)\mathrm{cm}$。
矩形面积$S=m(60 - m)=-m^{2}+60m$。
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，这里$a=-1$，$b = 60$，$c = 0$，其对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{60}{2×(-1)} = 30$。
因为$a=-1\lt0$，所以当$m = 30$时，$S$有最大值。
$S_{max}=-30^{2}+60×30=-900 + 1800=900\mathrm{cm}^{2}$。
所以面积最大的矩形纸片的面积是$900\mathrm{cm}^{2}$。
综上，任务1答案为$\boldsymbol{20\mathrm{cm}}$和$\boldsymbol{40\mathrm{cm}}$；任务2答案为$\boldsymbol{800\mathrm{cm}^{2}}$；任务3答案为$\boldsymbol{900\mathrm{cm}^{2}}$。