《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

9. 如图,$\odot O$的半径为2,正八边形ABCDEFGH内接于$\odot O$,对角线CE,DF相交于点M,则△MEF 的面积为______$2-\sqrt{2}$.

答案： $2-\sqrt{2}$

10. 如图, 在平面直角坐标系中,边长为6的正六边形ABCDEF的对称中心与原点 O重合,点A 在x轴上,点B 在反比例函数$y=\frac{k}{x}$位于第一象限的图象上,求k的值.[img]

答案： $9\sqrt{3}$

(11. 如图,中心为O 的正六边形ABCDEF 的边长为6cm,点P,Q分别从A,D两点同时出发,均以1cm/s的速度沿AF,DC向终点F,C运动,连结PB,PE,QB,QE,设运动时间为t(s).
(1)求证:四边形PBQE为平行四边形.
(2)当四边形PBQE为矩形时,求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比. [img]

答案：
(1)
∵六边形 ABCDEF 是正六边形，
∴$AB=BC=CD=DE=EF=FA$，$\angle A=\angle ABC=\angle C=\angle D=\angle DEF=\angle F$.
∵点 P,Q 分别从 A,D 两点同时出发，均以 1 cm/s 的速度沿 AF,DC 向终点 F,C 运动，
∴$AP=DQ=t(\text{cm})$，
∴$PF=QC=(6 - t)\text{cm}$. 在$\triangle ABP$ 和$\triangle DEQ$中，$\left\{\begin{array}{l} AB=DE,\\ \angle A=\angle D,\\ AP=DQ,\end{array}\right.$
∴$\triangle ABP\cong\triangle DEQ(\text{SAS})$，
∴$BP=EQ$. 同理可得 $PE=QB$，
∴四边形 PBQE 为平行四边形.
(2)如解图①，连结 BE,AE,BD,PQ,则 BE,PQ 经过点 O. 当四边形 PBQE 为矩形时，$PQ=BE=$正六边形外接圆的直径长.
∵正六边形除了六个顶点外，其余部分均在其外接圆内，
∴若 PQ 等于外接圆的直径，此时点 P 只能与点 A 或点 F 重合. 当$t=0$时，点 P 与点 A 重合，点 Q 与点 D 重合，四边形 PBQE 即为四边形 ABDE.
∵$\angle EAF=\angle AEF=30^{\circ}$，
∴$\angle BAE=120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$，
∴四边形 ABDE 是矩形，即四边形 PBQE 是矩形. 当$t=6$时，点 P 与点 F 重合，点 Q 与点 C 重合，四边形 PBQE 即为四边形 FBCE，连结 BF,CE,如解图②所示. 同理可得$\angle BFE=90^{\circ}$，此时四边形 PBQE 是矩形. 综上，当$t=0$或 6 时，四边形 PBQE 是矩形，且两种情况下矩形 PBQE 的面积相同，都等于四边形 ABDE 的面积.
∵$S_{\text{正六边形}ABCDEF}=6S_{\triangle AOB}=6×\frac{1}{4}S_{\text{矩形}ABDE}$，
∴矩形 PBQE 的面积与正六边形 ABCDEF 的面积之比为$2:3$.