《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

变式1-1 已知抛物线$y=ax^{2}-2x+c$的图象经过点$(0,3),(-2,-1).$
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)判断点$P(1,1)$是否在该抛物线上,并说明理由.

答案： $(1)$求抛物线的函数表达式
解：已知抛物线$y = ax^{2}-2x + c$的图象经过点$(0,3)$，$(-2,-1)$。
将点$(0,3)$代入抛物线方程$y = ax^{2}-2x + c$中，此时$x = 0$，$y = 3$，可得：
$3=a×0^{2}-2×0 + c$，即$c = 3$。
将$c = 3$和点$(-2,-1)$（此时$x=-2$，$y = -1$）代入抛物线方程$y = ax^{2}-2x + c$，得到$-1=a×(-2)^{2}-2×(-2)+3$。
化简方程$-1=a×(-2)^{2}-2×(-2)+3$：
$\begin{aligned}-1&=4a + 4 + 3\\-1&=4a+7\\4a&=-1 - 7\\4a&=-8\\a&=-2\end{aligned}$
把$a=-2$，$c = 3$代入$y = ax^{2}-2x + c$，得到抛物线的函数表达式为$y=-2x^{2}-2x + 3$。
$(2)$判断点$P(1,1)$是否在该抛物线上
解：把$x = 1$代入抛物线$y=-2x^{2}-2x + 3$中，根据代入求值公式$y=-2×1^{2}-2×1 + 3$。
计算$y=-2×1^{2}-2×1 + 3$：
$\begin{aligned}y&=-2-2 + 3\\y&=-1\end{aligned}$
因为当$x = 1$时，$y=-1\neq1$，所以点$P(1,1)$不在该抛物线上。
综上，$(1)$抛物线函数表达式为$\boldsymbol{y=-2x^{2}-2x + 3}$；$(2)$点$P(1,1)$不在该抛物线上 。

变式1-2 如图1-2,隧道的截面由抛物线和矩形构成,$AB=8m,BC=2m$,隧道的最高点P位于AB的中点的正上方,且与AB的距离为4m.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求图中抛物线的函数表达式.
(2)若隧道为单向通行,一辆高4m、宽3m的火车能否从隧道内通过？请说明理由.

答案： 1. （1）
解：已知$AB = 8m$，$BC = 2m$，$P$位于$AB$中点正上方且与$AB$距离为$4m$，则$A(0,2)$，$B(8,2)$，$P(4,6)$。
设抛物线的函数表达式为$y=a(x - h)^{2}+k$（$a\neq0$），因为顶点坐标为$(h,k)=(4,6)$，所以$y=a(x - 4)^{2}+6$。
把$A(0,2)$代入$y=a(x - 4)^{2}+6$得：
$2=a(0 - 4)^{2}+6$。
即$2 = 16a+6$。
移项可得$16a=2 - 6=-4$。
解得$a=-\frac{1}{4}$。
所以抛物线的函数表达式为$y =-\frac{1}{4}(x - 4)^{2}+6$，展开得$y=-\frac{1}{4}(x^{2}-8x + 16)+6=-\frac{1}{4}x^{2}+2x+2$。
2. （2）
解：当火车从隧道中间通过时，$x = 4\pm\frac{3}{2}$。
当$x = 4+\frac{3}{2}=\frac{11}{2}$时，把$x=\frac{11}{2}$代入$y =-\frac{1}{4}x^{2}+2x+2$得：
$y=-\frac{1}{4}×(\frac{11}{2})^{2}+2×\frac{11}{2}+2$。
$y =-\frac{121}{16}+11 + 2$。
$y=-\frac{121}{16}+\frac{176}{16}+\frac{32}{16}=\frac{-121 + 176+32}{16}=\frac{87}{16}=5.4375$。
因为$5.4375\gt4$。
所以：
（1）抛物线的函数表达式为$y =-\frac{1}{4}x^{2}+2x + 2$。
（2）一辆高$4m$、宽$3m$的火车能从隧道内通过。