《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

如图所示二次函数$ y=ax^{2}+bx+c(a≠0) $的图象,小明结合图象得到如下结论:①对称轴为直线x=-1;②$ b^{2}-4ac＞0 $;③方程$ ax^{2}+bx+c=0 $的解为$ x_{1}=-3 $，$ x_{2}=1 $;④不等式$ ax^{2}+bx+c＞3 $的解为$ -2＜x＜0 $.其中正确结论的个数是 （A）
A.4
B.3
C.2
D.1

答案： A

9. 二次函数$ y=ax^{2}-2ax+c $的图象过点(0,-1),其部分图象如图所示,则关于x的方程$ ax^{2}-2ax+c=-1 $的正数解为$x=2$.

答案： $x=2$

10. 某校风雨操场使用羽毛球发球机进行辅助训练,假设发球机每次发球的运动路线是抛物线(如图).在第一次发球时,球与发球机的水平距离为x(m)(x≥0),与地面的高度为y(m),y与x的对应数据如表所示.
| x(m) | 0 | 0.4 | 1 | 1.6 | ... |
|----|----|----|----|----|----|
| y(m) | 2 | .16 | 2.25 | 2.16 | ... |
(1)球经发球机发出后,最高点离地面2.25m.
(2)求y关于x的函数表达式.y=-0.25x²+0.5x+2
(3)发球机在地面的位置不动,调整发球口后,在第二次发球时,y与x之间满足函数关系$ y=-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{3}{2}(x≥0) $.
①为确保球拍在$ \frac{5}{4} $m的高度时能接到球，求球拍的接球位置与发球机的水平距离；2m
②通过计算判断第一、二次发球后在球的飞行过程中，当两球与发球机的水平距离相同时，两球的高度差能否超过1米.不能

答案： 1. （1）
观察表格数据，$y = 2.25$是表格中$y$的最大值，所以最高点离地面$2.25m$。
2. （2）
解：设$y$关于$x$的函数表达式为$y = ax^{2}+bx + c$。
已知$\begin{cases}x = 0,y = 2\\x = 0.4,y = 2.16\\x = 1,y = 2.25\end{cases}$，将$x = 0,y = 2$代入$y = ax^{2}+bx + c$得$c = 2$。
把$c = 2$，$x = 0.4,y = 2.16$和$x = 1,y = 2.25$代入$y=ax^{2}+bx + 2$得：
$\begin{cases}2.16=a×(0.4)^{2}+b×0.4 + 2\\2.25=a×1^{2}+b×1 + 2\end{cases}$。
由$2.16=a×(0.4)^{2}+b×0.4 + 2$得：
$2.16 = 0.16a+0.4b + 2$，$0.16a+0.4b=2.16 - 2=0.16$，两边同时除以$0.16$得$a + 2.5b = 1$ ①。
由$2.25=a×1^{2}+b×1 + 2$得：$a + b=2.25 - 2 = 0.25$ ②。
①$-$②得：$(a + 2.5b)-(a + b)=1 - 0.25$。
$a + 2.5b - a - b = 0.75$，$1.5b = 0.75$，解得$b=\frac{0.75}{1.5}=0.5$。
把$b = 0.5$代入②得：$a+0.5 = 0.25$，解得$a=-0.25$。
所以$y$关于$x$的函数表达式为$y=-0.25x^{2}+0.5x + 2$。
3. （3）
①
解：当$y=\frac{5}{4}$时，对于$y =-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{3}{2}$，有$-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{3}{2}=\frac{5}{4}$。
方程两边同时乘以$8$得：$-x^{2}+x + 12 = 10$。
移项得$x^{2}-x - 2 = 0$。
分解因式得$(x - 2)(x + 1)=0$。
解得$x_{1}=2,x_{2}=-1$（因为$x\geq0$，舍去$x=-1$）。
所以球拍的接球位置与发球机的水平距离为$2m$。
②
解：设两球高度差为$h$，$h=(-0.25x^{2}+0.5x + 2)-(-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{3}{2})$。
$h=-0.25x^{2}+0.5x + 2+\frac{1}{8}x^{2}-\frac{1}{8}x-\frac{3}{2}$。
通分$-0.25x^{2}=-\frac{1}{4}x^{2}$，则$h=-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{2}x + 2+\frac{1}{8}x^{2}-\frac{1}{8}x-\frac{3}{2}$。
合并同类项：$h=(-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{8}x^{2})+(\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x)+(2 - \frac{3}{2})$。
$h=(-\frac{2}{8}x^{2}+\frac{1}{8}x^{2})+(\frac{4}{8}x-\frac{1}{8}x)+\frac{1}{2}$。
$h=-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{3}{8}x+\frac{1}{2}$。
对于二次函数$h =-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{3}{8}x+\frac{1}{2}$，其中$a =-\frac{1}{8},b=\frac{3}{8},c=\frac{1}{2}$。
其对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{\frac{3}{8}}{2×(-\frac{1}{8})}=\frac{3}{2}$。
当$x=\frac{3}{2}$时，$h_{max}=-\frac{1}{8}×(\frac{3}{2})^{2}+\frac{3}{8}×\frac{3}{2}+\frac{1}{2}$。
$h_{max}=-\frac{9}{32}+\frac{9}{16}+\frac{1}{2}$。
通分$h_{max}=-\frac{9}{32}+\frac{18}{32}+\frac{16}{32}=\frac{-9 + 18+16}{32}=\frac{25}{32}\lt1$。
所以当两球与发球机的水平距离相同时，两球的高度差不能超过$1$米。
综上，答案依次为：（1）$2.25$；（2）$y=-0.25x^{2}+0.5x + 2$；（3）①$2m$；②不能。

11. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，那么称该点为“黎点”.例如(-1,1),(2024,-2024)都是“黎点”.
(1)反比例函数$ y=\frac{-9}{x} $图象上的“黎点”坐标为(3,-3)和(-3,3).
(2)若抛物线$ y=ax^{2}-7x+c $(a,c为常数)上有且只有一个“黎点”.当a＞1时，c的取值范围是0＜c＜9.

答案： 1. （1）
设反比例函数$y = \frac{-9}{x}$图象上的“黎点”坐标为$(m,-m)$。
把$(m,-m)$代入$y=\frac{-9}{x}$，得$-m=\frac{-9}{m}$。
两边同时乘以$m$（$m\neq0$）得$-m^{2}=-9$，即$m^{2}=9$。
解得$m = 3$或$m=-3$。
当$m = 3$时，$-m=-3$；当$m=-3$时，$-m = 3$。
所以“黎点”坐标为$(3,-3)$和$(-3,3)$。
2. （2）
设抛物线$y = ax^{2}-7x + c$上的“黎点”坐标为$(n,-n)$。
把$(n,-n)$代入$y = ax^{2}-7x + c$得：$-n=an^{2}-7n + c$。
整理得$an^{2}-6n + c = 0$。
因为抛物线$y = ax^{2}-7x + c$上有且只有一个“黎点”，所以方程$an^{2}-6n + c = 0$有且只有一个解。
对于一元二次方程$Ax^{2}+Bx + C = 0(A\neq0)$，其判别式$\Delta=B^{2}-4AC$，在方程$an^{2}-6n + c = 0$中，$A = a$，$B=-6$，$C = c$，则$\Delta=(-6)^{2}-4ac=0$，即$ac = 9$，所以$c=\frac{9}{a}$。
因为$a\gt1$，根据反比例函数$y=\frac{9}{x}(x\gt1)$的性质，$y$随$x$的增大而减小。
当$x = 1$时，$y = 9$，所以$0\lt c\lt9$。
综上，答案依次为：（1）$(3,-3)$和$(-3,3)$；（2）$0\lt c\lt9$。