《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

8 .已知函数$ y=(|m|-1)x^{2}+(m+1)x+3$.
(1)若这个函数是一次函数,求$ m $的值 .
(2)若这个函数二次函数,求$ m $的取值范围 .

答案： 1. （1）
解：
对于函数$y=(|m|-1)x^{2}+(m + 1)x + 3$，若它是一次函数，则二次项系数$|m|-1 = 0$，且一次项系数$m + 1\neq0$。
由$|m|-1 = 0$，可得$|m|=1$，即$m=\pm1$。
又因为$m + 1\neq0$，即$m\neq - 1$。
所以$m = 1$。
2. （2）
解：
对于函数$y=(|m|-1)x^{2}+(m + 1)x + 3$，若它是二次函数，则二次项系数$|m|-1\neq0$。
由$|m|-1\neq0$，可得$|m|\neq1$，即$m\neq1$且$m\neq - 1$。
综上，（1）$m = 1$；（2）$m\neq1$且$m\neq - 1$。

9.如图,正方形$ ABCD $和$\odot O$ 的周长之和为$ 20\ \text{cm}$,设$\odot O$ 的半径为$ x(\text{cm})$,正方形$ ABCD $ 的边长为$ y(\text{cm})$,阴影部分的面积为$ S(\text{cm}^{2})$.当$ x $ 在一定范围内变化时,$ y $ 和$ S $都随$ x $的变化而变化,则$ y $与$ x$,$ S $与$ x $满足的函数关系分别(B)
A.一次函数关系 ,一次函数关系
B.一次函数关系 ,二次函数关系
C .二次函数关系 ,二次函数关系
D.二次函数关系 ,一次函数关系

答案： B

10.定义:由$ a,b $构造的二次函数$ y=ax^{2}+(a+b)x+b $叫做一次函数$ y=ax+b $的"滋生函数",一次函数$ y=ax+b $叫做二次函数$ y=ax^{2}+(a+b)x+b $ 的"本源函数"($ a,b $都是常数,$ a\neq0 $). 如果一次函数$ y=ax+b $的"滋生函数"是$ y=ax^{2}-3x+a+1 $那么二次函数$ y=ax^{2}-3x+a+1 $的"本源函数"$y=-2x-1$.

答案： $y=-2x-1$

$11$.某工厂计划在一批长方体形状的产品的表面涂上油漆,长方体 的长和宽相等,高比长0.5m.
(1)长方体的长和宽用$ x(\text{m})$表示,长方体的表面积用$ S(\text{m}^{2})$表示,求$ S $关于$ x $的函数表达式.
(2)如果每平方米所需要的油漆的费用是5元,每个长方体所需要的油漆的费用用$ y$(元)表示,求$ y $关于$ x $的函数表达式.

答案： $(1)$求$S$关于$x$的函数表达式
解：已知长方体的长和宽为$x$米，高比长多$0.5$米，则高为$(x + 0.5)$米。
根据长方体表面积公式$S = 2×(ab+bc + ac)$（其中$a$、$b$、$c$分别为长方体的长、宽、高），可得：
$S=2×(x\cdot x+x\cdot(x + 0.5)+x\cdot(x + 0.5))$
$=2×(x^{2}+x^{2}+0.5x+x^{2}+0.5x)$
$=2×(3x^{2}+x)$
$=6x^{2}+2x$
$(2)$求$y$关于$x$的函数表达式
解：已知每平方米油漆费用是$5$元，由$y = 5S$，把$S = 6x^{2}+2x$代入可得：
$y = 5×(6x^{2}+2x)$
$y=30x^{2}+10x$
综上，$(1)$$\boldsymbol{S = 6x^{2}+2x}$；$(2)$$\boldsymbol{y = 30x^{2}+10x}$。