《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

3. 某个二次函数，当 $ x \geq 1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大，请写出一个满足条件的函数表达式：$ y=(x-1)^2 $.

答案： $ y=(x-1)^2 $(答案不唯一)

4. 若函数 $ y=mx^{2}+2x+1 $ 的图象与 $ x $ 轴只有一个公共点，则常数 $ m $ 的值是0或1.

答案： 0或1

5. 已知二次函数 $ y=x^{2}-8x+c $ 的最小值为 0，则 $ c $ 的值为16.

答案： 16

6. 已知二次函数 $ y=a(x-3)^{2}+c $（$ a,c $ 是常数，$ a＜0 $），当自变量 $ x $ 分别取 $ \sqrt{5},0,4 $ 时，所对应的函数值分别为 $ y_{1},y_{2},y_{3} $，则 $ y_{1},y_{2},y_{3} $ 的大小关系为$ y_2 ＜ y_3 ＜ y_1 $.

答案： $ y_2 ＜ y_3 ＜ y_1 $

7. 已知一个二次函数的图象过点 $ (-1,0) $，$ (3,0) $，$ (2,-6) $.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)请写出自变量 $ x $ 在什么范围内时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.

答案：
(1)$ y=2x^2-4x-6 $.
(2)$ x \leqslant1 $.

已知抛物线 $ y=ax^{2}-2ax+3(a＞0) $，$ A(-1,y_{1}) $，$ B(2,y_{2}) $，$ C(4,y_{3}) $ 是抛物线上三点，则 $ y_{1},y_{2},y_{3} $ 由小到大排列为 （B）
A.$ y_{1}＜y_{2}＜y_{3} $
B.$ y_{2}＜y_{1}＜y_{3} $
C.$ y_{3}＜y_{1}＜y_{2} $
D.$ y_{2}＜y_{3}＜y_{1} $

答案： B

9. 姣姣进行铅球专业训练，教练员尝试用数学模型来研究铅球的运动情况，从而做出指导. 如图所示为姣姣在某次比赛前训练时，铅球行进高度 $ y(\text{m}) $ 与水平距离 $ x(\text{m}) $ 之间的函数图象，铅球经过的路径可以看做抛物线. 铅球在距离地面 $ \frac{5}{3}\text{m} $ 的点 $ A $ 处出手，在距离出手点 $ A $ 水平距离 $ \frac{19}{2}\text{m} $ 处（即 $ OB=\frac{19}{2}\text{m} $）达到最高点，这次训练的成绩是 $ 20\text{m} $. 求：

(1)这次训练中，铅球经过路径的函数表达式.
(2)这次训练中，铅球距离地面的最大高度.

答案： 1. （1）
设抛物线的函数表达式为$y = a(x - h)^{2}+k$。
已知抛物线的对称轴为$x = h=\frac{19}{2}$，设抛物线的表达式为$y=a(x - \frac{19}{2})^{2}+k$。
因为抛物线经过$A(0,\frac{5}{3})$和$(20,0)$。
把$x = 0,y=\frac{5}{3}$代入$y=a(x - \frac{19}{2})^{2}+k$得：$\frac{5}{3}=a(0 - \frac{19}{2})^{2}+k$，即$\frac{5}{3}=\frac{361}{4}a + k$ ①；
把$x = 20,y = 0$代入$y=a(x - \frac{19}{2})^{2}+k$得：$0=a(20 - \frac{19}{2})^{2}+k$，即$0=a(\frac{40 - 19}{2})^{2}+k$，$0=\frac{441}{4}a + k$ ②。
用②$-$①得：
$(\frac{441}{4}a + k)-(\frac{361}{4}a + k)=0-\frac{5}{3}$。
$\frac{441}{4}a + k-\frac{361}{4}a - k=-\frac{5}{3}$。
$\frac{441 - 361}{4}a=-\frac{5}{3}$，$\frac{80}{4}a=-\frac{5}{3}$，$20a=-\frac{5}{3}$，解得$a=-\frac{1}{12}$。
把$a = -\frac{1}{12}$代入②得：$0=\frac{441}{4}×(-\frac{1}{12})+k$，$k=\frac{147}{16}$。
所以抛物线的函数表达式为$y = -\frac{1}{12}(x - \frac{19}{2})^{2}+\frac{147}{16}$，展开$y = -\frac{1}{12}(x^{2}-19x+\frac{361}{4})+\frac{147}{16}$，$y = -\frac{1}{12}x^{2}+\frac{19}{12}x-\frac{361}{48}+\frac{147}{16}$，$y = -\frac{1}{12}x^{2}+\frac{19}{12}x+\frac{-361 + 441}{48}$，$y = -\frac{1}{12}x^{2}+\frac{19}{12}x+\frac{80}{48}$，$y = -\frac{1}{12}x^{2}+\frac{19}{12}x+\frac{5}{3}$。
2. （2）
对于抛物线$y = a(x - h)^{2}+k$（$a\neq0$），当$x = h$时，$y$有最值。
由$y = -\frac{1}{12}(x - \frac{19}{2})^{2}+\frac{147}{16}$，$a=-\frac{1}{12}\lt0$，所以当$x=\frac{19}{2}$时，$y$有最大值$y_{max}=\frac{147}{16}=9.1875(\text{m})$。
答：（1）铅球经过路径的函数表达式为$y = -\frac{1}{12}x^{2}+\frac{19}{12}x+\frac{5}{3}$；（2）铅球距离地面的最大高度是$9.1875\text{m}$。