《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

20.(8分)如图,$O 是等边三角形 ABC $内的一点,$\angle BOC= 150^\circ$,将$\triangle BOC 绕点 C 按顺时针方向旋转得到\triangle ADC$,连结$ OD,OA$.
(1)求$\angle ODC $的度数.
(2)若$ OB= 4,OC= 5$,求$ AO $的长.

答案： 1. （1）
解：
因为$\triangle BOC$绕点$C$按顺时针方向旋转得到$\triangle ADC$，所以$CO = CD$，$\angle ACD=\angle BCO$，$\angle ADC=\angle BOC = 150^{\circ}$。
又因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle ACB=\angle ACD+\angle ACO=\angle BCO+\angle ACO = 60^{\circ}$，即$\angle OCD = 60^{\circ}$。
由于$CO = CD$，$\angle OCD = 60^{\circ}$，根据等边三角形的判定定理（有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形），可知$\triangle OCD$是等边三角形。
所以$\angle ODC = 60^{\circ}$。
2. （2）
解：
由（1）知$\triangle OCD$是等边三角形，所以$OD = OC = 5$。
因为$\angle ADC=\angle BOC = 150^{\circ}$，$\angle ODC = 60^{\circ}$，所以$\angle ADO=\angle ADC-\angle ODC=150^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}$。
又因为$\triangle BOC$绕点$C$旋转得到$\triangle ADC$，所以$AD = OB = 4$。
在$Rt\triangle ADO$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$a = AD$，$b = OD$，$c = AO$），可得$AO=\sqrt{AD^{2}+OD^{2}}$。
把$AD = 4$，$OD = 5$代入得$AO=\sqrt{4^{2}+5^{2}}=\sqrt{16 + 25}=\sqrt{41}$。
综上，（1）$\angle ODC$的度数为$60^{\circ}$；（2）$AO$的长为$\sqrt{41}$。

21.(8分)如图,$D 是\triangle ABC 的 BC $边上一点,连结$ AD$,作$\triangle ABD 的外接圆 O$,将$\triangle ADC 沿直线 AD $折叠,点$ C 的对应点 E 落在\odot O$上.

(1)如图①,$\angle ABC= 30^\circ$.
①求$\angle ACB $的度数;
②若$ AD= DE$,求$\angle EAB $的度数.
(2)如图②,若$\widehat{AD}= \widehat{BE}$,$AC= 4$,$CD= 2$,求$ BC $的长.

答案： 1. （1）①
解：
由折叠可知$\angle AED=\angle ACB$，又因为$\angle AED = \angle ABC$（同弧所对的圆周角相等），已知$\angle ABC = 30^{\circ}$，所以$\angle ACB=\angle ABC = 30^{\circ}$。
2. （1）②
解：
因为$AD = DE$，所以$\angle DAE=\angle AED$。
由①知$\angle AED=\angle ABC = 30^{\circ}$，所以$\angle DAE=\angle AED = 30^{\circ}$。
因为$\angle ADB$是$\triangle ADC$的外角，所以$\angle ADB=\angle ACB+\angle CAD$，又因为$\angle ADB=\angle AEB$（同弧所对的圆周角相等），$\angle ACB=\angle AED = 30^{\circ}$。
在$\triangle ABE$中，$\angle EAB=180^{\circ}-\angle AEB-\angle ABE$，$\angle AEB=\angle ADB=\angle ACB+\angle CAD$，$\angle CAD=\angle DAE = 30^{\circ}$，$\angle ABE = 30^{\circ}$，$\angle AEB=\angle ACB+\angle CAD=30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}$。
所以$\angle EAB=180^{\circ}-60^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$。
3. （2）
解：
因为$\widehat{AD}=\widehat{BE}$，所以$\angle BAD=\angle ABE$，则$AD// BE$。
所以$\angle EDA=\angle DBE$。
由折叠可知$\angle CDA=\angle EDA$，$AC = AE = 4$，$CD = DE = 2$。
所以$\angle CDA=\angle DBE$，又因为$\angle C=\angle BED$（同弧所对的圆周角相等）。
所以$\triangle ACD\sim\triangle BED$（两角分别相等的两个三角形相似）。
则$\frac{AC}{BE}=\frac{CD}{DE}$，因为$AC = 4$，$CD = DE = 2$，所以$\frac{4}{BE}=\frac{2}{2}$，解得$BE = 4$。
因为$\angle AED=\angle ACB$，$\angle EAD=\angle CAD$，$AD = AD$，所以$\triangle AED\cong\triangle ACD(SAS)$。
因为$AD// BE$，所以$\angle EAB+\angle AED = 180^{\circ}$，$\angle CAD+\angle BAD+\angle AED = 180^{\circ}$，又$\angle AED=\angle ACB$，$\angle BAD=\angle ABE$。
因为$\triangle ACD\sim\triangle BED$，$DE = CD = 2$，$AE = AC = 4$，$BE = 4$。
又因为$\angle ADE+\angle BDE=\angle ADB$，$\angle ADE=\angle ADC$，$\angle BDE+\angle ADC=\angle BDC$。
由$\triangle ACD\sim\triangle BED$得$\frac{BD}{AD}=\frac{BE}{AC}$，且$\angle ADB=\angle BED+\angle DBE$，$\angle ADC=\angle BED$，$\angle DBE=\angle CDA$。
因为$AD// BE$，所以$\frac{CD}{BD}=\frac{AC}{BE}$（平行线分线段成比例），已知$AC = 4$，$CD = 2$，$BE = 4$，设$BD=x$，则$\frac{2}{x}=\frac{4}{4}$，解得$x = 2$。
所以$BC=BD + CD=2 + 4=6$。
综上，（1）①$\angle ACB = 30^{\circ}$；②$\angle EAB = 90^{\circ}$；（2）$BC$的长为$6$。

22.(10分)如图,在$\odot O$中,弦$ AC,BD 相交于点 M$,且$\angle A= \angle B$.
(1)求证:$AC= BD$.
(2)若$ OA= 4$,$\angle A= 30^\circ$,当$ AC\perp BD $时,求$\widehat{CD}$的长.

答案： 1. （1）证明：
连接$BC$，$AD$。
在$\odot O$中，$\angle A$和$\angle D$所对的弧都是$\widehat{BC}$，根据同弧所对的圆周角相等，可得$\angle A=\angle D$。
已知$\angle A = \angle B$，所以$\angle B=\angle D$。
因为$\angle BMC=\angle DMA$（对顶角相等），且$\angle B=\angle D$，$\angle A=\angle D$，$\angle A=\angle B$，所以$\triangle BMC\cong\triangle DMA(AAS)$。
则$CM = DM$，$BM = AM$。
所以$CM + AM=DM + BM$，即$AC = BD$。
2. （2）解：
连接$OC$，$OD$。
因为$\angle A = 30^{\circ}$，$\angle A=\angle D$（同弧所对圆周角相等），所以$\angle D = 30^{\circ}$。
又因为$AC\perp BD$，所以$\angle AMD = 90^{\circ}$。
根据三角形内角和为$180^{\circ}$，在$\triangle AMD$中，$\angle AOD=180^{\circ}-\angle A - \angle D=120^{\circ}$。
因为$AC = BD$，所以$\widehat{AC}=\widehat{BD}$，那么$\widehat{AC}-\widehat{CD}=\widehat{BD}-\widehat{CD}$，即$\widehat{AD}=\widehat{BC}$。
所以$\angle BOC=\angle AOD = 120^{\circ}$。
已知$OA = 4$，即$r = 4$。
根据弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（其中$n$为圆心角的度数，$r$为半径），对于$\widehat{CD}$，$n = 60^{\circ}$，$r = 4$。
则$l_{\widehat{CD}}=\frac{60\pi×4}{180}=\frac{4\pi}{3}$。
综上，（1）得证$AC = BD$；（2）$\widehat{CD}$的长为$\frac{4\pi}{3}$。