《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

例1 在Rt△ABC中,∠A= 90°,BC= 5,AC= 4,求△ABC中最短边与最长边的比.
 

答案： 【解析】：本题主要考查勾股定理的应用以及线段长短的比较。
在直角三角形中，已知斜边和一条直角边，可以利用勾股定理求出另一条直角边。
勾股定理公式为$a^2 + b^2 = c^2$，其中$c$为斜边，$a$、$b$为直角边。
本题中，已知$BC$为斜边，$AC$为一条直角边，所以可以通过勾股定理求出$AB$的长度。
求出三边长度后，比较三边大小，找出最短边和最长边，然后求出它们的比值。
【答案】：解：在$Rt\bigtriangleup ABC$中，$\angle A = 90^{\circ}$，$BC = 5$，$AC = 4$。
∵$BC$为斜边，
根据勾股定理可得：
$AB = \sqrt{BC^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$
∵$AB = 3$，$AC = 4$，$BC = 5$，
∴$AB \lt AC \lt BC$，
∴$\bigtriangleup ABC$中最短边与最长边的比为$\frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}$。

例2 如图4-1-2,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC.试判断线段AD,BE,AC,BC是否成比例,并说明理由.

 

答案： 【解析】：本题主要考查比例线段的判断，通过三角形面积公式建立线段之间的关系，进而判断线段是否成比例。
已知在$\triangle ABC$中，$AD\perp BC$，$BE\perp AC$。
根据三角形面积公式，以$BC$为底，$AD$为高时，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD$；以$AC$为底，$BE$为高时，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BE$。
由于三角形的面积是固定的，所以$\frac{1}{2}BC\cdot AD = \frac{1}{2}AC\cdot BE$，等式两边同时乘以$2$可得$BC\cdot AD = AC\cdot BE$。
根据比例的基本性质“两外项之积等于两内项之积”，由$BC\cdot AD = AC\cdot BE$可得$\frac{AD}{BE}=\frac{AC}{BC}$。
根据比例线段的定义：如果四条线段$a$，$b$，$c$，$d$满足$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，那么这四条线段$a$，$b$，$c$，$d$叫做成比例线段。
因为$\frac{AD}{BE}=\frac{AC}{BC}$，所以线段$AD$，$BE$，$AC$，$BC$成比例。
【答案】：解：线段$AD$，$BE$，$AC$，$BC$成比例。理由如下：
∵$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}AC\cdot BE$，
∴$BC\cdot AD = AC\cdot BE$，
∴$\frac{AD}{BE}=\frac{AC}{BC}$，
∴线段$AD$，$BE$，$AC$，$BC$成比例。

例3 在比例尺为1:10000的地图上,相距0.4 km的A,B两地的图上距离为______cm.
4

答案： 解：0.4 km=40000 cm。
设A,B两地的图上距离为x cm。
由题意，得x:40000=1:10000，
解得x=4。
答案：4

A组
1. 下列各组线段中不成比例线段的是(C)
A.1,2,2,4
B.3,4,9,12
C.7,5,3,2
D.$1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}$

答案： C

2. 已知A,B两地的实际距离AB为5000 m,画在地图上的距离A'B'为2 cm,则这张地图的比例尺为(D)
A.2:5
B.1:25000
C.25000:1
D.1:250000

答案： D