《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

例1 如图,将正五边形纸片ABCDE折叠,使点B与点E重合,折痕为AM,展开后,再将纸片折叠,使边AB落在线段AM上,点B的对应点为点B',折痕为AF,则∠AFB'的度数为______.

 
45°

答案： 解：正五边形每个内角为$\frac{(5-2)×180^{\circ}}{5}=108^{\circ}$，即$\angle BAE = \angle B = 108^{\circ}$。
由折叠性质，$AM$平分$\angle BAE$，则$\angle BAM=\frac{1}{2}\angle BAE = 54^{\circ}$。
再折叠使$AB$落在线段$AM$上，$AF$平分$\angle BAM$，故$\angle BAF=\frac{1}{2}\angle BAM = 27^{\circ}$，且$\angle AB'F = \angle B = 108^{\circ}$。
在$\triangle AB'F$中，$\angle AFB'=180^{\circ}-\angle AB'F-\angle BAF=180^{\circ}-108^{\circ}-27^{\circ}=45^{\circ}$。
答案：$45^{\circ}$

例2 (2024·余姚一模)将正六边形ABCDEF折叠成三角形后(如图①)用剪刀剪下一个角,展开后得到如图②所示的图形,图②中虚线为折叠时产生的折痕,折痕AG+BH= AB.若剪完后所得阴影图形的面积为原正六边形面积的$\frac{5}{6}$,则$\frac{GH}{AB}$的值为( )
 

A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{5}}{5}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
 

答案：
解析 如解图,设正六边形ABCDEF的中心为O,连结AD,BE,CF,易知AD,BE,CF交于点O,过点G作GR⊥OB于点R,过点O作OT⊥AF于点T.
由折叠的性质知,被剪下的6个小三角形(如△OGH)均为完全相同的三角形.
∵阴影图形的面积为原正六边形面积的$\frac{5}{6}$,
∴每个小三角形(如△OGH)面积占一个小正三角形(如△AOB)的$1-\frac{5}{6}= \frac{1}{6}$.
设AB= OB= OA= AF= OF= 1,
$\therefore S_{\triangle AOB}= \frac{1}{2}AB\cdot OT= \frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}= \frac{\sqrt{3}}{4}$,
$S_{\triangle GOH}= \frac{1}{2}OH\cdot GR= \frac{\sqrt{3}}{2}OG(1-OG)×\frac{1}{2}= \frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{1}{6}$,
$\therefore OG-OG^{2}= \frac{1}{6}$,
解得$OG= \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}或\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}$(不合题意,舍去),
$\therefore OH= 1-OG= \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}$,$OR= \frac{1}{2}OG= \frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{12}$,
$\therefore HR= OR-OH= \frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{12}-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}= -\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}$,$GR= \sqrt{3}OR= \frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{4}$,
∴在Rt△GHR中,$GR^{2}+HR^{2}= GH^{2}$,即$(\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{4})^{2}+(-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4})^{2}= GH^{2}$,
解得$GH= \frac{\sqrt{2}}{2}$(负值已舍去),
$\therefore\frac{GH}{AB}= \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1}= \frac{\sqrt{2}}{2}$.
答案 A