《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

（1）求抛物线的函数表达式.
$y = -\frac{2}{3}x^{2}+\frac{10}{3}x + 4$
（2）如图，E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC的面积最大时，请求出点E的坐标.
$(3,8)$

答案： 【解析】：
（1）这一问主要考查了一次函数与坐标轴的交点以及二次函数表达式的求解。
先通过一次函数$y = -\frac{2}{3}x + 4$求出与$y$轴交点$B$和与$x$轴交点$C$的坐标，再将$B$、$C$两点坐标代入抛物线$y = ax^{2}+\frac{10}{3}x + c$中，得到关于$a$、$c$的方程组，最后解方程组得出抛物线的函数表达式。
（2）这一问主要考查了在二次函数背景下求三角形面积的最大值以及对应点的坐标。
先设出点$E$的坐标，根据$EG// y$轴求出点$G$的坐标，进而得到$EG$的长度表达式，再根据三角形面积公式得出$\triangle BEC$的面积关于$m$的表达式，最后根据二次函数的性质求出面积最大时$m$的值，从而得到点$E$的坐标。
【答案】：
（1）在$y = -\frac{2}{3}x + 4$中，令$x = 0$，则$y = 4$，
∴点$B$的坐标为$(0,4)$。
令$y = 0$，$-\frac{2}{3}x + 4 = 0$，解得$x = 6$，
∴点$C$的坐标为$(6,0)$。
把点$B(0,4)$，$C(6,0)$的坐标分别代入$y = ax^{2}+\frac{10}{3}x + c$，得$\begin{cases}c = 4 \\36a + \frac{10}{3}× 6 + c = 0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a = -\frac{2}{3} \\c = 4\end{cases}$，
∴抛物线的函数表达式为$y = -\frac{2}{3}x^{2}+\frac{10}{3}x + 4$。
（2）如解图，过点$E$作$EG// y$轴，交直线$BC$于点$G$。
设点$E(m,-\frac{2}{3}m^{2}+\frac{10}{3}m + 4)$，则点$G(m,-\frac{2}{3}m + 4)$，
∴$EG = (-\frac{2}{3}m^{2}+\frac{10}{3}m + 4)-(-\frac{2}{3}m + 4)=-\frac{2}{3}m^{2}+4m$，
∴$S_{\triangle BEC}=\frac{1}{2}× 6× (-\frac{2}{3}m^{2}+4m)= -2(m - 3)^{2}+18(0\lt m\lt 6)$。
∵$-2\lt 0$，$0\lt m\lt 6$，
∴当$m = 3$时，$S$有最大值，
此时点$E$的坐标为$(3,8)$。