《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

7.如图,点O是△ABC的外心,求∠1+∠2+∠3的度数.[img]

答案： 90°.

8. 如图,在正方形方格中,A,B,C,D,E,P均在格点处,则点P是的外心D

答案： D

9. 如图,已知点E是△ABC的外心,PQ分别是AB,AC中点,连结EP,EQ分别交BC于点F,D.若BF= 5,DF= 3,CD= 4,则△ABC的面积为( )BA. 18 B. 24 C. 30 D. 36

答案： B

10已知M(1,2),N(3,-3),P(x,y)三点可以确定一个圆,则以下点P的坐标不满足要求的是(C)
A.(3,5)
B.(-3,5)
C.(-1,7)
D.(1,-3)

答案： C

11.如图,已知抛物线$y= x^2= 4x$经过原点,且与x轴相交于点A.(1)求线段OA的长.
(2)设抛物线的顶点为B,试求△AOB的外接圆圆心的坐标.[img]

答案： 1. （1）
对于抛物线$y = x^{2}-4x$，令$y = 0$，则$x^{2}-4x=0$。
提取公因式$x$得$x(x - 4)=0$。
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=4$。
因为$O(0,0)$，$A$点坐标为$(4,0)$，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^{2}+(y_2 - y_1)^{2}}$（这里$y_1 = y_2 = 0$），所以$OA=\vert4 - 0\vert=4$。
2. （2）
先将抛物线$y=x^{2}-4x$化为顶点式：
根据完全平方公式$a^{2}-2ab=(a - b)^{2}-b^{2}$，对于$y=x^{2}-4x$，其中$a = x$，$b = 2$，则$y=(x - 2)^{2}-4$，所以顶点$B$的坐标为$(2,-4)$。
设$\triangle AOB$的外接圆的圆心坐标为$(m,n)$。
因为外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^{2}+(y_2 - y_1)^{2}}$：
圆心$(m,n)$到$O(0,0)$的距离$d_1=\sqrt{(m - 0)^{2}+(n - 0)^{2}}=\sqrt{m^{2}+n^{2}}$；圆心$(m,n)$到$A(4,0)$的距离$d_2=\sqrt{(m - 4)^{2}+(n - 0)^{2}}=\sqrt{(m - 4)^{2}+n^{2}}$；圆心$(m,n)$到$B(2,-4)$的距离$d_3=\sqrt{(m - 2)^{2}+(n + 4)^{2}}$。
由$d_1 = d_2$可得：$\sqrt{m^{2}+n^{2}}=\sqrt{(m - 4)^{2}+n^{2}}$。
两边平方得$m^{2}+n^{2}=(m - 4)^{2}+n^{2}$。
展开$(m - 4)^{2}=m^{2}-8m + 16$，则$m^{2}+n^{2}=m^{2}-8m + 16+n^{2}$，化简得$8m=16$，解得$m = 2$。
把$m = 2$代入$d_1 = d_3$，即$\sqrt{2^{2}+n^{2}}=\sqrt{(2 - 2)^{2}+(n + 4)^{2}}$。
两边平方得$4 + n^{2}=(n + 4)^{2}$。
展开$(n + 4)^{2}=n^{2}+8n+16$，则$4 + n^{2}=n^{2}+8n+16$。
移项得$8n=-12$，解得$n=-\frac{3}{2}$。
所以（1）$OA = 4$；（2）$\triangle AOB$的外接圆圆心的坐标为$(2,-\frac{3}{2})$。

12.定义:到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心.
(1)如图①,△ABC是等边三角形,点O是△ABC的外心,求证:∠AB= 30°.
(2)如图②,△ABC是等边三角形,分别延长等边三角形ABC的边AB,BC,CA到点D,E,F,使BD= CE= AF,连结DE,EF,DF.若点O是△ABC的外心,求证:点O也是△DEF的外心.

答案：

(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC = 60°，AB = AC = CB.
∵O是△ABC的外心，
∴OA = OB = OC. 在△AOB和△COB中，$\left\{\begin{array}{l} AB=CB,\\ OB=OB,\\ OA=OC,\end{array}\right. $
∴△AOB≌△COB(SSS)，
∴∠ABO = ∠CBO.
∵∠ABO + ∠CBO = ∠ABC = 60°，
∴∠ABO = 30°.
(2)如解图，连结OF，OD，OE.
∵点O是△ABC的外心，
∴OA = OB，
∴∠OAB = ∠OBA = 30°. 又
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC = 60°，
∴∠OAC = 60° - 30° = 30°，
∴180° - ∠OAC = 180° - ∠OBA，即∠FAO = ∠DBO. 在△FAO和△DBO中，$\left\{\begin{array}{l} AF=BD,\\ ∠FAO=∠DBO,\\ OA=OB,\end{array}\right. $
∴△FAO≌△DBO(SAS)，
∴OF = OD. 同理，OF = OE，
∴OF = OE = OD，
∴点O也是△DEF的外心.