《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

9. 如图,AB是⊙O的弦,且AB= 6,C是⌢AB的中点,D是⌢AMB上的一点,∠ADC= 30°,则圆心O到弦AB的距离为 (C)
A.3√3
B.3/2
C.√3
D √3/2

答案： C

10. 如图,AC是⊙O 的弦,AC= 5,B是⊙O上的一个动点,且∠ABC= 45°.若M,N分别是AC,BC的中点,则MN的最大值为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

答案： $\frac{5\sqrt{2}}{2}$

11.如图,⊙O的半径OD垂直于弦AB,垂足为C,连结AO并延长,交⊙O于点E,连结BE,CE.若AB= ８,CD= ２,则△BCE 的面积为12.

答案： 12

１2. 如图 , 在 ⊙O 中 ,∠B= ３０°,∠C= ４５°,AD⊥BC于点D ,AD= ２ ,则 ⊙O 的半径为$2\sqrt{2}$.

答案： $2\sqrt{2}$

13.如图 ,AB 是 ⊙O 的直径 , 点 A,B,C,D都在 ⊙ O上 ,OD 交 AC于点 E ,⌢AD= ⌢CD.
(1)求证 :OD // BC.
(2)若 AC= ８ ,DE= ２ ,求 BC 的长.

答案： 1. （1）证明：
因为$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，根据垂径定理的推论（平分弧的直径垂直平分弧所对的弦），$OA = OC$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$，所以$OD\perp AC$，即$\angle AEO = 90^{\circ}$。
又因为$AB$是$\odot O$的直径，根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角），所以$\angle ACB = 90^{\circ}$。
那么$\angle AEO=\angle ACB$（同位角相等），所以$OD// BC$。
2. （2）解：
设$OA = OD = r$，则$OE=r - 2$。
因为$OD\perp AC$，$AC = 8$，根据垂径定理（垂直于弦的直径平分弦），所以$AE=\frac{1}{2}AC = 4$。
在$Rt\triangle AEO$中，根据勾股定理$AE^{2}+OE^{2}=OA^{2}$，即$4^{2}+(r - 2)^{2}=r^{2}$。
展开式子得$16+r^{2}-4r + 4=r^{2}$。
移项可得$16 + 4=r^{2}-r^{2}+4r$，即$4r=20$，解得$r = 5$。
所以$OE=5 - 2 = 3$。
因为$OD// BC$，$O$是$AB$的中点，所以$OE$是$\triangle ABC$的中位线。
根据三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半），$BC = 2OE$。
所以$BC = 6$。
综上，（1）得证$OD// BC$；（2）$BC$的长为$6$。

14. 如图,在Rt△ABC中 ,∠ABC= ９０°,AB= ６,BC= ４,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB= ∠PBC,求线段CP长 的最小值.

答案：
$\because \angle ABC=90^{\circ}$,$\therefore \angle ABP+\angle PBC=90^{\circ}$.$\because \angle PAB=\angle PBC$,$\therefore \angle ABP+\angle PAB=90^{\circ}$,$\therefore \angle APB=90^{\circ}$,$\therefore$ 点 P 在以AB 为直径的圆上. 如解图,以 AB为直径作$\odot O$,连结 OC 交$\odot O$于点 P,此时 CP 的长最小. 在
$\text{Rt}\triangle BCO$中,$\because \angle OBC=90^{\circ}$,$BC=4$,$OB=\frac{1}{2}AB=3$,$\therefore OC=\sqrt{OB^{2}+BC^{2}}=5$,$\therefore CP=OC-OP=5-3=2$,$\therefore$ 线段CP 长的最小值为 2.