《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

11. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从点A向四周喷水,喷出的水柱呈抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C,D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限和坐标轴部分）的函数表达式为y=$\frac{-1}{6}$(x-5)²+6(x≥0).

(1)求雕塑OA的高.
(2)求落水点C,D之间的距离.
(3)若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE=10 m，EF⊥OD，EF=1.8 m.问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明.

答案： 1. （1）求雕塑$OA$的高：
当$x = 0$时，代入$y=-\frac{1}{6}(x - 5)^{2}+6$，可得$y=-\frac{1}{6}(0 - 5)^{2}+6=-\frac{25}{6}+6=\frac{-25 + 36}{6}=\frac{11}{6}$。
所以雕塑$OA$的高为$\frac{11}{6}m$。
2. （2）求落水点$C$，$D$之间的距离：
当$y = 0$时，$0=-\frac{1}{6}(x - 5)^{2}+6$。
则$\frac{1}{6}(x - 5)^{2}=6$，$(x - 5)^{2}=36$。
所以$x−5=\pm6$。
当$x−5 = 6$时，$x = 11$；当$x−5=-6$时，$x=-1$（舍去）。
因为抛物线关于$y$轴对称，所以$OC = OD = 11m$。
则$CD=OC + OD=22m$。
3. （3）判断顶部$F$是否会碰到水柱：
当$x = 10$时，代入$y=-\frac{1}{6}(x - 5)^{2}+6$，得$y=-\frac{1}{6}(10 - 5)^{2}+6=-\frac{25}{6}+6=\frac{-25 + 36}{6}=\frac{11}{6}\approx1.83$。
因为$EF = 1.8m$，$1.83\gt1.8$。
所以顶部$F$不会碰到水柱。
综上，答案依次为：（1）$\frac{11}{6}m$；（2）$22m$；（3）顶部$F$不会碰到水柱。

12. 单板滑雪大跳台是冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看做是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足函数关系y=a(x-h)²+k(a＜0).某运动员进行了两次训练.

(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x(m)与竖直高度y(m)的几组数据如下表所示：
|水平距离x(m)|0|2|5|8|11|14|
|---|---|---|---|---|---|---|
|竖直高度y(m)|20.00|21.40|22.75|23.20|22.75|21.40|
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a(x-h)²+k(a＜0).
23.20 m；y=-0.05(x-8)²+23.20(x≥0)
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足函数关系y=-0.04(x-9)²+23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d₁，第二次训练的着陆点的水平距离为d₂，则d₁＜（填“＞”“＜”或“=”）d₂.

答案：
(1)根据题表中的数据可知,抛物线的顶点坐标为$(8,23.20)$,$\therefore$运动员竖直高度的最大值为23.20 m.将$x=0,y=20$代入$y=a(x-8)^{2}+23.20$,得$20=a(0-8)^{2}+23.20$,解得$a=-0.05$,$\therefore$函数表达式为$y=-0.05(x-8)^{2}+23.20(x\geqslant0)$.
(2)$＜$