《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

例1 如图 4-4-12,点 E,F 分别在正方形 ABCD 的边 BC,CD 上,BE=3，EC=6，CF=2. 求证：△ABE∽△ECF.

 

答案： 【解析】：本题可根据正方形的性质得出对应边的关系以及对应角的关系，再结合相似三角形的判定定理来证明$\triangle ABE$与$\triangle ECF$相似。
步骤一：根据已知条件求出正方形的边长
已知$BE = 3$，$EC = 6$，根据$BC=BE + EC$，可得$BC=3 + 6 = 9$。
步骤二：利用正方形的性质得到边的关系和角的关系
因为四边形$ABCD$是正方形，根据正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角，所以$AB = BC = 9$，$\angle B=\angle C = 90^{\circ}$。
步骤三：分别计算两组对应边的比值
计算$\frac{AB}{EC}$的值，将$AB = 9$，$EC = 6$代入可得$\frac{AB}{EC}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$。
计算$\frac{BE}{CF}$的值，将$BE = 3$，$CF = 2$代入可得$\frac{BE}{CF}=\frac{3}{2}$。
所以$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}$。
步骤四：根据相似三角形的判定定理得出结论
在$\triangle ABE$和$\triangle ECF$中，$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}$，且$\angle B=\angle C = 90^{\circ}$，根据相似三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，所以$\triangle ABE\sim\triangle ECF$。
【答案】：证明：
∵$BE = 3$，$EC = 6$，
∴$BC=BE + EC = 9$。
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AB = BC = 9$，$\angle B=\angle C = 90^{\circ}$。
∴$\frac{AB}{EC}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$，$\frac{BE}{CF}=\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}$。
又
∵$\angle B=\angle C$，
∴$\triangle ABE\sim\triangle ECF$。

例2 在△ABC 中,AB=6,AC=5,点 D 在边 AB 上,且 AD=2,点 E 在边 AC 上,当AE=$\frac{12}{5}$或$\frac{5}{3}$时,以 A,D,E 为顶点的三角形与△ABC 相似.

答案： 解：分两种情况讨论：
①当$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$时，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
此时$AE=\frac{AB\cdot AD}{AC}=\frac{6×2}{5}=\frac{12}{5}$；
②当$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$时，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
此时$AE=\frac{AC\cdot AD}{AB}=\frac{5×2}{6}=\frac{5}{3}$。
综上所述，$AE=\frac{12}{5}$或$\frac{5}{3}$。

例3 如图 4-4-13，在△ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,BC 上,BA·BD=BC·BE.

(1)求证:△BDE∽△BCA.
(2)若 AE=AC,求证:$AC^{2}=AD\cdot AB$.
 

答案： 【解析】：
(1) 本题考查相似三角形的判定。
首先根据已知条件$BA\cdot BD = BC\cdot BE$，通过变形得到$\frac{BD}{BC}=\frac{BE}{BA}$，再结合公共角$\angle B = \angle B$，根据相似三角形的判定定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，从而证明$\triangle BDE\sim\triangle BCA$。
(2) 本题考查相似三角形的判定与性质。
先由$BA\cdot BD = BC\cdot BE$推出$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{BA}$，结合公共角$\angle B = \angle B$，证明$\triangle BCD\sim\triangle BAE$，得到$\angle BCD = \angle BAE$。
因为$AE = AC$，根据等腰三角形的性质“等边对等角”，得出$\angle AEC = \angle ACE$。
再利用三角形外角的性质，分别表示出$\angle AEC$和$\angle ACE$，进而得到$\angle B = \angle ACD$。
最后结合公共角$\angle DAC = \angle CAB$，证明$\triangle ADC\sim\triangle ACB$，根据相似三角形的性质“相似三角形对应边成比例”，得出$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，从而证明$AC^{2}=AD\cdot AB$。
【答案】：
证明：
(1)
∵$BA\cdot BD = BC\cdot BE$，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{BE}{BA}$。
又
∵$\angle B = \angle B$，
∴$\triangle BDE\sim\triangle BCA$。
(2)
∵$BA\cdot BD = BC\cdot BE$，
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{BA}$。
又
∵$\angle B = \angle B$，
∴$\triangle BCD\sim\triangle BAE$，
∴$\angle BCD = \angle BAE$。
∵$AE = AC$，
∴$\angle AEC = \angle ACE$。
∵$\angle AEC = \angle B + \angle BAE$，$\angle ACE = \angle ACD + \angle BCD$，
∴$\angle B = \angle ACD$。
又
∵$\angle DAC = \angle CAB$，
∴$\triangle ADC\sim\triangle ACB$，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，
∴$AC^{2}=AD\cdot AB$。