《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

例1 在同一平面直角坐标系中,画出下列二次函数的图象:
① $ y= x^{2} $;② $ y= 2x^{2} $;
③ $ y= -x^{2} $;④ $ y= -2x^{2} $.
从图象对比,说出二次函数表达式中二次项系数 a 对抛物线的形状有什么影响.
 

答案：
【解析】：
本题主要考查二次函数图象的绘制以及二次项系数$a$对抛物线形状的影响。
首先，需要用描点法画出四个二次函数$y = x^{2}$，$y = 2x^{2}$，$y = -x^{2}$，$y = -2x^{2}$的图象。
对于每个函数，可以选择一系列$x$值，计算对应的$y$值，然后在坐标系中描出这些点，最后用平滑的曲线连接起来，形成抛物线。
通过观察图象，可以发现：
当二次函数表达式中的$|a|$相同时，两条抛物线的形状相同。
这意味着，例如$y = x^{2}$和$y = -x^{2}$，或者$y = 2x^{2}$和$y = -2x^{2}$，它们的图象形状是一样的，只是开口方向不同。
当$|a|$越大时，抛物线的开口越小。
这意味着，例如$y = 2x^{2}$的开口比$y = x^{2}$的开口更小，同样$y = -2x^{2}$的开口也比$y = -x^{2}$的开口更小。
【答案】：
用描点法画出四个二次函数$y = x^{2}$，$y = 2x^{2}$，$y = -x^{2}$，$y = -2x^{2}$的图象 
由图象可知：
当$|a|$相同，两条抛物线的形状相同；
$|a|$越大，抛物线的开口越小。

例2 关于 $ y= -\frac{2}{3}x^{2} $ 的描述,错误的是(C)
A.它的图象关于 y 轴对称
B.该抛物线开口向下
C.原点是该抛物线上的最低点
D.它与 $ y= \frac{2}{3}x^{2} $ 的图象关于 x 轴对称
 

答案： 【解析】：
这个问题主要考查二次函数$y = ax^2$（其中$a \neq 0$）的图象及其性质。
对于选项A，函数$y = -\frac{2}{3}x^2$是一个偶函数，因为$f(-x) = -\frac{2}{3}(-x)^2 = -\frac{2}{3}x^2 = f(x)$，所以其图像关于y轴对称，A选项描述正确。
对于选项B，由于二次项系数$a = -\frac{2}{3} ＜ 0$，所以抛物线开口向下，B选项描述正确。
对于选项C，由于抛物线开口向下，且顶点在原点，所以原点是抛物线上的最高点，而不是最低点，C选项描述错误。
对于选项D，函数$y = -\frac{2}{3}x^2$与$y = \frac{2}{3}x^2$的二次项系数互为相反数，所以它们的图像开口大小相同，但方向相反，即关于x轴对称，D选项描述正确。
综上所述，错误的描述是C选项。
【答案】：C