《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

例1 如图3-8-4,$\odot O是\triangle ABC$的外接圆,半径为4,连结OB,OC,OA. 若$\angle CAO= 40^{\circ},\angle ACB= 70^{\circ}$,则阴影部分的面积为(C)
A.$\frac{4}{3}\pi$
B.$\frac{8}{3}\pi$
C.$\frac{16}{3}\pi$
D.$\frac{32}{3}\pi$
 

答案： 解：
∵OA=OC，∠CAO=40°，
∴∠ACO=∠CAO=40°．
∵∠ACB=70°，
∴∠OCB=∠ACB - ∠ACO=70° - 40°=30°．
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°．
在△OBC中，∠BOC=180° - ∠OBC - ∠OCB=180° - 30° - 30°=120°．
∵⊙O半径为4，
∴阴影部分面积为$\frac{120}{360}×\pi×4^{2}=\frac{1}{3}×\pi×16=\frac{16}{3}\pi$．
答案：C

例2 如图3-8-5,矩形ABCD内接于$\odot O$,分别以AB,BC,CD,AD为直径向外作半圆.若AB= 4,BC= 5,则阴影部分的面积为( )

A.$\frac{41}{4}\pi-20$
B.$\frac{41}{2}\pi-20$
C.20π


D.20
 

答案：
解：连结BD，
∵矩形ABCD内接于⊙O，
∴BD为⊙O的直径，
在Rt△ABD中，AB=4，AD=BC=5，
∴BD²=AB²+AD²=4²+5²=41，
S阴影部分=S以AD为直径的半圆+S以BC为直径的半圆+S以AB为直径的半圆+S以CD为直径的半圆+S矩形ABCD - S⊙O，
∵AB=CD=4，AD=BC=5，
∴S以AD为直径的半圆+S以BC为直径的半圆=2×[1/2×π×(5/2)²]=π×(5/2)²，
S以AB为直径的半圆+S以CD为直径的半圆=2×[1/2×π×(4/2)²]=π×(4/2)²，
S⊙O=π×(BD/2)²，
∴S阴影部分=π×(5/2)² + π×(4/2)² + 4×5 - π×(BD/2)²，
=π×(25/4 + 4) + 20 - π×(41/4)，
=π×(41/4) + 20 - π×(41/4)，
=20．
答案：D