《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

9. 如图,已知点 A,B,C,D 在$\odot O$上,弦 AB,CD 的延长线交$\odot O$外一点 E,$\angle BCD= 25^\circ$,$\angle E= 39^\circ$,则$\angle APC$的度数为$89^\circ$.

答案： $89^\circ$

10. 如图,点 A,B,C 在$\odot O$上,AC 平分$\angle OAB$,若$\angle OAB= 40^\circ$,则$\angle CBD$= $70^\circ$.

答案： $70^\circ$

11. 如图,$\triangle ABC内接于\odot O$,$AH\perp BC$,垂足为 H,AD 平分$\angle BAC$,交$\odot O$于点 D. 求证：AD 平分$\angle HAO$.

答案： 证明：连接OD。
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD。
∴弧BD=弧CD，
∴OD⊥BC（垂径定理）。
∵AH⊥BC，
∴OD//AH，
∴∠ODA=∠HAD。
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD。
∴∠OAD=∠HAD，即AD平分∠HAO。

12. 如图,在$\odot O$中,$\widehat{AB}= \widehat{BC}= \widehat{CD}$,OC 与 AD 相交于点 E,连结 BE,BC,CD.求证：
(1)$AD// BC$.
(2)四边形 BCDE 是菱形.

答案：
(1)证明：连接BD，
∵$\widehat{AB}=\widehat{BC}=\widehat{CD}$，
∴设$\widehat{AB}=\widehat{BC}=\widehat{CD}=n^{\circ}$，则$\widehat{AD}=360^{\circ}-3n^{\circ}$，
∴$\angle CBD=\frac{1}{2}\widehat{CD}=\frac{n^{\circ}}{2}$，$\angle ADB=\frac{1}{2}\widehat{AB}=\frac{n^{\circ}}{2}$，
∴$\angle CBD=\angle ADB$，
∴$AD// BC$。
(2)证明：连接BO，DO，
∵$\widehat{AB}=\widehat{BC}=\widehat{CD}$，
∴$\angle AOB=\angle BOC=\angle COD$，
设$\angle AOB=\angle BOC=\angle COD=m^{\circ}$，则$\angle AOD=360^{\circ}-3m^{\circ}$，
∵OA=OD，
∴$\angle OAD=\angle ODA=\frac{180^{\circ}-\angle AOD}{2}=\frac{180^{\circ}-(360^{\circ}-3m^{\circ})}{2}=\frac{3m^{\circ}-180^{\circ}}{2}$，
∵AD$//$BC，
∴$\angle OCB=\angle OEA$，
∵OC=OB，
∴$\angle OCB=\angle OBC=\frac{180^{\circ}-\angle BOC}{2}=\frac{180^{\circ}-m^{\circ}}{2}$，
∵OA=OC，
∴$\angle OAC=\angle OCA$，
$\angle OEA=180^{\circ}-\angle OAE-\angle AOE=180^{\circ}-\angle OAD-\angle AOB=180^{\circ}-\frac{3m^{\circ}-180^{\circ}}{2}-m^{\circ}=\frac{360^{\circ}-3m^{\circ}+180^{\circ}-2m^{\circ}}{2}=\frac{540^{\circ}-5m^{\circ}}{2}$，
∵$\angle OCB=\angle OEA$，
∴$\frac{180^{\circ}-m^{\circ}}{2}=\frac{540^{\circ}-5m^{\circ}}{2}$，
解得$m^{\circ}=90^{\circ}$，
∴$\angle AOB=\angle BOC=\angle COD=90^{\circ}$，
∴$\angle AOD=360^{\circ}-3×90^{\circ}=90^{\circ}$，
∴$\angle AOB=\angle BOC=\angle COD=\angle AOD=90^{\circ}$，
∵OA=OB=OC=OD，
∴$\triangle AOB≌\triangle BOC≌\triangle COD≌\triangle DOA(SAS)$，
∴AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AD$//$BC，AB=CD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵BC=CD，
∴平行四边形BCDE是菱形。

13. 如图,AB 是$\odot O$的直径,弦$CD\perp AB$于点 E,G 在$\widehat{AC}$上任意一点,连结 AD,AG,GD.
(1)找出图中与$\angle G$相等的角(不添加其他线),并说明理由.
(2)若 C 是$\widehat{GB}$的中点,且$CD= AG$,求$\angle G$的度数.

答案： 1. （1）
与$\angle G$相等的角是$\angle ADC$。
理由：同弧所对的圆周角相等，因为$\angle G$和$\angle ADC$所对的弧都是$\widehat{AC}$，根据圆周角定理$\angle G=\angle ADC$（$\angle AGC$和$\angle ADC$都是$\widehat{AC}$所对的圆周角）。
2. （2）
解：
因为$AB$是$\odot O$的直径，$CD\perp AB$，根据垂径定理$CE = DE=\frac{1}{2}CD$，$\widehat{AC}=\widehat{AD}$。
又因为$C$是$\widehat{GB}$的中点，所以$\widehat{BC}=\widehat{CG}$。
已知$CD = AG$，则$\widehat{CD}=\widehat{AG}$（在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等）。
设$\angle G=x$，因为$\angle G=\angle ADC$（已证），$\widehat{AC}=\widehat{AD}$，所以$\angle CAD=\angle G=x$。
由于$\widehat{AC}=\widehat{AD}$，$\widehat{BC}=\widehat{CG}$，$\widehat{CD}=\widehat{AG}$，则$\widehat{AG}=\widehat{CD}=2\widehat{AC}$。
根据圆周角定理$\angle AOD = 2\angle ACD$（$\angle ACD$和$\angle AOD$分别是$\widehat{AD}$所对的圆周角和圆心角），$\angle AOG=2\angle ADG$（$\angle ADG$和$\angle AOG$分别是$\widehat{AG}$所对的圆周角和圆心角）。
因为$\widehat{AG}=2\widehat{AD}$，所以$\angle AOG = 2\angle AOD$。
又因为$\angle AOD+\angle AOG=180^{\circ}$（$A$，$O$，$B$共线），把$\angle AOG = 2\angle AOD$代入可得$3\angle AOD=180^{\circ}$，则$\angle AOD = 60^{\circ}$。
因为$\widehat{AC}=\widehat{AD}$，所以$\angle AOD = 2\angle ADC$，又因为$\angle G=\angle ADC$，所以$\angle G=\frac{1}{2}\angle AOD$。
所以$\angle G = 30^{\circ}$。