《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

例题 如图,在矩形ABCD中,$AB= 2\sqrt{3}$,$BC= 4$,以点A为圆心,AD的长为半径画弧,交BC于点E,连结AE,$\angle DAE= 60^\circ$,求阴影部分的面积.

 

答案： 【解析】：本题主要考查了矩形性质，勾股定理，扇形面积公式等知识点。
先根据矩形性质和已知条件求出$AE$，$BE$的长度，
再利用扇形面积公式求出$S_{扇形DAE}$，
最后用矩形面积减去扇形面积和$\triangle ABE$的面积，即可得到阴影部分面积。
【答案】：解：
$\because$四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore AD=BC=4$，$\angle B=\angle DAB=90^\circ$。
$\because$以点$A$为圆心，$AD$的长为半径画弧，交$BC$于点$E$，
$\therefore AE=AD=4$。
$\because AB=2\sqrt{3}$，
$\therefore$在$Rt\triangle ABE$中，
$BE=\sqrt{AE^2-AB^2}$
$=\sqrt{4^2-(2\sqrt{3})^2}$
$=\sqrt{16-12}$
$=\sqrt{4}$
$=2$
$\therefore S_{阴影}=S_{矩形ABCD}-S_{扇形DAE}-S_{\triangle ABE}$
$=2\sqrt{3}×4-\frac{60\pi×4^2}{360}-\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$
$=8\sqrt{3}-\frac{8\pi}{3}-2\sqrt{3}$
$=6\sqrt{3}-\frac{8\pi}{3}$

变式1 如图,在半径为2,圆心角为$90^\circ$的扇形内,以OB为直径作半圆交AB于点D,连结OD,则阴影部分的面积为(C)
A.$\frac{1}{2}\pi-1$
B.$\frac{1}{2}\pi-2$
C.$\pi-2$
D.$\pi-1$

答案： C

变式2 如图,正方形ABCD的边长为4,分别以点A,C为圆心,AB的长为半径画弧,分别交对角线AC于点E,F,则图中阴影部分的面积为(A)
A.$4\pi-8$
B.$2\pi-4$
C.$\pi-2$

 

D.$8\pi-16$

答案： 1. 首先，根据正方形的性质：
已知正方形$ABCD$边长$a = 4$，则$AB=BC = 4$，$\angle BAC=\angle ACD = 45^{\circ}$，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}S_{正方形ABCD}$。
由正方形面积公式$S = a^{2}$（$a$为边长），可得$S_{正方形ABCD}=4×4 = 16$，那么$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×16 = 8$。
2. 然后，根据扇形面积公式$S=\frac{n\pi r^{2}}{360}$（$n$是圆心角的度数，$r$是半径）：
对于扇形$ABE$，$n = 45^{\circ}$，$r = AB = 4$，则$S_{扇形ABE}=\frac{45\pi×4^{2}}{360}$，$S_{扇形CDF}=\frac{45\pi×4^{2}}{360}$（因为扇形$CDF$与扇形$ABE$的圆心角$n = 45^{\circ}$，半径$r = 4$都相等）。
计算$S_{扇形ABE}=S_{扇形CDF}=\frac{45\pi×16}{360}=2\pi$。
3. 最后，求阴影部分面积$S_{阴影}$：
$S_{阴影}=2(S_{扇形ABE}-S_{\triangle AOB})$（由图形对称性可知），而$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$（$O$是$AC$中点），$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}×8 = 4$。
$S_{阴影}=2×(2\pi - 4)=4\pi-8$。
所以图中阴影部分的面积为$4\pi - 8$，答案是A。

变式3 如图,在菱形ABCD中,$AB= 2$,$\angle B= 120^\circ$,O是对角线AC的中点,以点O为圆心,OA长为半径作圆心角为$60^\circ$的扇形EOF,点D在扇形EOF内,则图中阴影部分的面积为(A)
A.$\frac{\pi}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}$
B.$\pi-\frac{\sqrt{3}}{4}$
C.$\frac{\pi}{2}-\frac{1}{4}$
D.无法确定

答案： A

变式4 如图,矩形ABCD中,$AB= 1$,以点B为圆心,BC的长为半径画弧,交AD于点F,交BA的延长线于点E,若F是$\overset{\frown}{CE}$的中点,则图中阴影部分的面积为______$\sqrt{2}-1$.

答案： $\sqrt{2}-1$

变式5 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,以AC为直径的$\odot O$与AB,BC分别交于点D,E,连结AE,DE.若$\angle BED= 45^\circ$,$AB= 2$,则阴影部分的面积为______$\frac{\pi}{4}$.

答案： $\frac{\pi}{4}$