《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

11. 在平面直角坐标系中,抛物线$ y= -x^{2}+3x-1 $的开口方向是开口向下(填"向上"或"向下").

答案： 向下

12. 已知二次函数$ y= ax^{2}+bx+c(a\neq 0) $图象上部分点的坐标(x,y)的对应值如下表所示：


则该二次函数的对称轴是直线$x=2$.

答案： $x=2$

13. 已知抛物线$ y= ax^{2}+bx+c $经过A(-3,0),B(4,0)两点,则关于x的一元二次方程$ a(x-1)^{2}+c= b-bx $的解为$x_{1}=-2,x_{2}=5$.

答案： $x_{1}=-2,x_{2}=5$

14. 已知抛物线$ y= -x^{2}-3x+3 $,点P(m,n)在抛物线上,则m+n的最大值为4.

答案： 4

15. 如图,在平面直角坐标系中,点A(2,4)在抛物线$ y= ax^{2} $上,过点A作y轴的垂线,交抛物线于另一点B,点C,D在线段AB上,分别过点C,D作x轴的垂线交抛物线于E,F两点,连结EF.当四边形CDFE为正方形时,线段CD的长为______$-2+2\sqrt{5}$.

答案： $-2+2\sqrt{5}$

16. 若一个点的纵坐标是横坐标的3倍,则称这个点为"三倍点",如:点A(1,3),B(-2,-6),C(0,0)都是"三倍点".在-3＜x＜1的范围内,若二次函数$ y= -x^{2}-x+c $的图象上至少存在一个"三倍点",则c的取值范围是______$-4\leqslant c＜5$.

答案： $-4\leqslant c＜5$[由题意得，“三倍点”所在的直线为$y=3x$.在$-3＜x＜1$的范围内，二次函数$y=-x^{2}-x+c$的图象上至少存在一个“三倍点”，即在$-3＜x＜1$的范围内，二次函数$y=-x^{2}-x+c$和一次函数$y=3x$的图象至少有一个交点.令$3x=-x^{2}-x+c$，整理，得$x^{2}+4x-c=0$，则$\Delta=b^{2}-4ac=16+4c\geqslant0$，解得$c\geqslant-4$.把$x=-3$代入$y=-x^{2}-x+c$，得$y=-6+c$；代入$y=3x$，得$y=-9$，
∴$-9＞-6+c$，解得$c＜-3$.把$x=1$代入$y=-x^{2}-x+c$，得$y=-2+c$；代入$y=3x$，得$y=3$，
∴$3＞-2+c$，解得$c＜5$.综上所述，c的取值范围是$-4\leqslant c＜5$.]

17. (8分)已知$ y= -3x^{2}+(2m-1)x+1 $,当x＞2时,y随x的增大而减小,求m的取值范围.

答案： $m\leqslant\frac{13}{2}$.

18. (8分)在平面直角坐标系中,函数$ y= ax^{2}+bx+1 $(a,b是常数,且a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(t,0)和(-3t,0),其中t≠0.求证:a＜0.

答案： 【解析】：
本题主要考察二次函数的性质，特别是二次函数图象与x轴交点的情况以及二次项系数a对函数图象开口方向的影响。
首先，根据题目条件，函数$y = ax^{2} + bx + 1$的图象与x轴有两个交点，分别为$(t,0)$和$(-3t,0)$，其中$t \neq 0$。
这意味着方程$ax^{2} + bx + 1 = 0$有两个不相等的实数根，即$t$和$-3t$。
根据二次方程的根与系数的关系，有：
根的和：$t + (-3t) = -\frac{b}{a}$，
根的积：$t × (-3t) = \frac{1}{a}$，
从根的积可以得到：
$-3t^{2} = \frac{1}{a}$，
由于$t \neq 0$，所以$t^{2} ＞ 0$，那么$-3t^{2} ＜ 0$。
因此，$\frac{1}{a} ＜ 0$，
由此可以推断出$a ＜ 0$。
另外，我们也可以通过考虑二次函数的开口方向来证明。
由于函数图象与x轴有两个交点，且这两个交点分布在原点的两侧（因为它们的x坐标乘积为负），所以函数的开口方向必须向下，即$a ＜ 0$。
【答案】：
证明：
∵函数$y = ax^{2} + bx + 1$的图象与x轴交于两点，坐标分别为$(t,0)$，$(-3t,0)$，其中$t \neq 0$，
∴方程$ax^{2} + bx + 1 = 0$有两个不相等的实数根，分别为$t$，$-3t$。
∵两根之积为$t \cdot (-3t) = -3t^{2} ＜ 0$，
∴$\frac{1}{a} ＜ 0$，
∴$a ＜ 0$。

19. (8分)已知抛物线$ y= x^{2}-2mx+2m+4 $,P为抛物线的顶点.
(1)若抛物线与y轴的交点坐标为(0,2),求该抛物线的函数表达式.$y=x^{2}+2x+2$
(2)当点P的纵坐标取最大值时,m的值为1,此时点P的坐标为(1,5).

答案： $(1)$求抛物线的函数表达式
- 已知抛物线$y = x^{2}-2mx + 2m + 4$与$y$轴的交点坐标为$(0,2)$。
- 把$x = 0$，$y = 2$代入抛物线方程$y = x^{2}-2mx + 2m + 4$中，得到$2=0^{2}-2m×0 + 2m + 4$。
- 解上述方程：
$\begin{aligned}2&=2m + 4\\2m&=2 - 4\\2m&=-2\\m&=-1\end{aligned}$
- 把$m = -1$代入抛物线$y = x^{2}-2mx + 2m + 4$，得到$y=x^{2}-2×(-1)x+2×(-1)+4$，即$y = x^{2}+2x + 2$。
$(2)$求$m$的值和点$P$的坐标
- 对于抛物线$y=ax^{2}+bx+c$（$a\neq0$），其顶点坐标公式为$(-\frac{b}{2a},\frac{4ac - b^{2}}{4a})$，对于抛物线$y = x^{2}-2mx + 2m + 4$，其中$a = 1$，$b=-2m$，$c = 2m + 4$。
- 则顶点$P$的纵坐标为$\frac{4×1×(2m + 4)-(-2m)^{2}}{4×1}$，化简：
$\begin{aligned}\frac{4×(2m + 4)-4m^{2}}{4}&=\frac{8m+16 - 4m^{2}}{4}\\&=2m + 4 - m^{2}\\&=-m^{2}+2m + 4\\&=-(m^{2}-2m)+4\\&=-(m^{2}-2m + 1 - 1)+4\\&=-((m - 1)^{2}-1)+4\\&=-(m - 1)^{2}+5\end{aligned}$
- 因为$-(m - 1)^{2}\leq0$，所以当$m - 1 = 0$，即$m = 1$时，$-(m - 1)^{2}+5$取得最大值$5$。
- 当$m = 1$时，顶点$P$横坐标为$-\frac{-2m}{2×1}=m = 1$，纵坐标为$5$，所以$P$点坐标为$(1,5)$。
综上，答案依次为：$(1)$$y = x^{2}+2x + 2$；$(2)$$1$；$(1,5)$。