《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

例1 ⊙O的一条弦AB分圆周长为3:7两部分,则弦AB所对的圆周角的度数为 (B)
A.54°
B.54°或126°
C.126°
D.108°或252°
 

答案： 解：
∵弦AB分圆周长为3:7两部分，
∴劣弧AB的度数为360°×3/(3+7)=108°，优弧AB的度数为360°×7/(3+7)=252°。
∵圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，
∴弦AB所对的圆周角的度数为108°×1/2=54°或252°×1/2=126°。
答案 B

例2 如图3-5-1,点A,B,C在⊙O上,若∠C= 25°,则∠ABO的度数为 (D)

A.50°
B.55°
C.60°
D.65°
 

答案： 解：
∵∠C=25°，
∴∠AOB=2∠C=50°（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）。
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO（等边对等角）。
∵∠ABO+∠BAO+∠AOB=180°，
∴∠ABO=(180°-∠AOB)/2=(180°-50°)/2=65°。
答案：D

例3 如图3-5-2,在△ABC中,AB= AC,AB为⊙O的直径,AC交⊙O于点E,连结BE.
(1)若∠A= 45°,求∠EBC的度数.
(2)若OA= 5,BD= 3,求CE的长.


 

答案：
(1)
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,
∴∠ABE=180°-∠AEB-∠A=180°-90°-45°=45°.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠A)/2=(180°-45°)/2=67.5°,
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=67.5°-45°=22.5°.
(2)连结AD.
∵AB为⊙O的直径,
∴AD⊥BC.
∵AB=AC,
∴BD=DC,
∴BC=2BD=2×3=6.
∵OA=5,
∴AC=AB=2OA=10.
设CE=x,则AE=AC-CE=10-x.
在Rt△ABE中,BE²=AB²-AE²=10²-(10-x)².
在Rt△BCE中,BE²=BC²-CE²=6²-x².
∴10²-(10-x)²=6²-x²,
即100-(100-20x+x²)=36-x²,
100-100+20x-x²=36-x²,
20x=36,
解得x=$\frac{36}{20}$=$\frac{9}{5.}$
∴CE的长为$\frac{9}{5.}$