《2025年教与学课程同步讲练九年级数学全一册浙教版》

例1 如图 1-4-1 所示为 400 m 跑道示意图,中间的足球场 ABCD 是矩形,两边是半圆,设直道 AB 的长为x(m).
(1)请用含x的代数式表示 BC 的长.
(2)设矩形 ABCD 的面积为S(m^2).
①求出 S 关于x的函数表达式；
②当直道 AB 为多少米时,矩形 ABCD 的面积最大？并求出此时矩形 ABCD 的最大面积.

 

答案： 【解析】：
(1) 根据题意，跑道的总长度为400m，其中包括两个直道和两个半圆。设直道$AB$的长度为$x$，则两个直道的总长度为$2x$。剩下的长度为$400 - 2x$，这部分长度要分配给两个半圆，即每个半圆的长度为$\frac{400 - 2x}{2} = 200 - x$。由于半圆的周长公式为$\pi r$，可以设$BC$的一半为$r$，则有：
$\pi r = 200 - x$，
解得：
$r = \frac{200 - x}{\pi}$，
因此，$BC$的长度为：
$BC = 2r = \frac{400 - 2x}{\pi}$，且$0＜x＜200$。
(2) ① 矩形$ABCD$的面积$S$可以表示为：
$S = AB × BC = x × \frac{400 - 2x}{\pi}= -\frac{2}{\pi}(x-100)^2+\frac{20000}{\pi}(0＜x＜200)$。
② 为了找到使$S$最大的$x$值，观察$S$的表达式，可以看出$S$是一个关于$x$的二次函数，且二次项系数为负（$-\frac{2}{\pi} ＜ 0$），因此$S$是一个开口向下的抛物线。根据二次函数的性质，知道$S$在顶点处取得最大值。由二次函数的顶点公式，顶点的$x$坐标为$-\frac{b}{2a}$，在这里$a = -\frac{2}{\pi}$，$b = \frac{400}{\pi}$，所以顶点的$x$坐标为：
$x = -\frac{\frac{400}{\pi}}{2 × (-\frac{2}{\pi})} = 100$，
将$x = 100$代入$S$的表达式，得到最大面积：
$S = -\frac{2}{\pi} × (100-100)^2 + \frac{20000}{\pi} = \frac{20000}{\pi}$，
综上所述，当直道$AB$的长度为100m时，矩形$ABCD$的面积最大，最大面积为$\frac{20000}{\pi} m^2$。
【答案】：
(1)$BC= \frac{400-2x}{\pi}(0＜x＜200)$；
(2)①$S= -\frac{2}{\pi}(x-100)^2+\frac{20000}{\pi}(0＜x＜200)$；
②当直道 $AB$ 为 100 米时,矩形 $ABCD$ 的面积最大,最大面积为$\frac{20000}{\pi}m^2$。

例2 已知二次函数$y= x^2-6x+3$.
(1)求该函数图象的顶点坐标、对称轴以及与x轴的交点坐标.
(2)当$0\leq x\leq4$时,求y的最大值与最小值之差.
(3)当$-2\leq x\leq k$时,求y的最小值.(用含k的代数式表示)
 

答案： （1）解：$y=x^2 - 6x + 3=(x - 3)^2 - 6$，顶点坐标为$(3, - 6)$，对称轴为直线$x = 3$。
令$y = 0$，$(x - 3)^2 - 6=0$，$x - 3=\pm\sqrt{6}$，$x_1=3 + \sqrt{6}$，$x_2=3 - \sqrt{6}$，与$x$轴交点坐标为$(3 + \sqrt{6},0)$，$(3 - \sqrt{6},0)$。
（2）解：对称轴$x = 3$，开口向上，$0\leq x\leq4$。
当$x = 3$时，$y_{\text{min}}=-6$；当$x = 0$时，$y = 3$；当$x = 4$时，$y=-5$，$y_{\text{max}} = 3$。
最大值与最小值之差为$3-(-6)=9$。
（3）解：①当$k\leq3$时，$y_{\text{min}}=k^2 - 6k + 3$；②当$k＞3$时，$y_{\text{min}}=-6$。
综上所述，$y$的最小值为$k^2 - 6k + 3$或$-6$。