《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

8. (2025·编写)在$\triangle ABC和\triangle A'B'C'$中,$∠C= ∠C'= 90^{\circ }$,下列条件不能判定它们相似的是( )
A. $∠A= ∠B'$
B. $AC= BC,A'C'= B'C'$
C. $AB= 3A'B',BC= 3B'C'$
D. $\triangle ABC$中有两边长为3,4,$\triangle A'B'C'$有两边长为6,8

答案： D

9. (1)(2025·编写)如图,点$D在\triangle ABC的边AB$上,$AC^{2}= AD\cdot AB$. 求证：$\triangle ACD\backsim \triangle ABC$.

(2)(2025·编写)如图,$\frac {AE}{AD}= \frac {AB}{AE}$,且$∠ABE= ∠C$. 求证：$\triangle ADE\backsim \triangle ABC$.

答案：
(1)[证明]
∵AC² = AD·AB，
∴AC:AB = AD:AC。
又
∵∠A = ∠A，
∴△ACD∽△ABC。
(2)[证明]
∵$\frac{AE}{AD}=\frac{AB}{AE}$，∠A = ∠A，
∴△ABE∽△AED，
∴∠ABE = ∠AED。
∵∠ABE = ∠C，
∴∠AED = ∠C。
∵∠A = ∠A，
∴△ADE∽△ABC。

10. (1)(2025·编写)如图,$G是BD$上的一点,且$EG// AD$,$FG// CD$. 求证：$\triangle EFG\backsim \triangle ACD$.

(2)(2022·温江)如图,在正方形$ABCD$中,$BE= 3CE$,$CF= DF$. 求证：
①$AE^{2}= AF^{2}+EF^{2}$；
②$\triangle AEF\backsim \triangle AFD$.

答案：
(1)[证明]
∵EG//AD，
∴∠BGE = ∠BDA，△BGE∽△BDA，
∴$\frac{EG}{AD}=\frac{BG}{BD}$。
∵FG//CD，
∴∠BGF = ∠BDC，△BGF∽△BDC，
∴$\frac{FG}{CD}=\frac{BG}{BD}$，
∴∠FGE = ∠CDA，$\frac{EG}{AD}=\frac{FG}{CD}$，
∴△EFG∽△ACD。
(2)[证明]①
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = BC = CD = AD，∠B = ∠C = ∠D = 90°。
∵BE = 3CE，
∴可以假设CE = a，BE = 3a，
∴AB = BC = CD = AD = 4a，DF = CF = 2a，
∴AE² = AB² + BE² = (4a)² + (3a)² = 25a²，AF² = AD² + DF² = (4a)² + (2a)² = 20a²，EF² = CE² + CF² = a² + (2a)² = 5a²，
∴AE² = AF² + EF²。
②
∵AE² = AF² + EF²，
∴∠AFE = 90° = ∠D。
∵AF = 2√5a，EF = √5a，
∴$\frac{AF}{EF}=\frac{AD}{FD}=2$，
∴$\frac{AF}{AD}=\frac{EF}{FD}$，
∴△AEF∽△AFD。

11. (2025·编写)如图,已知$∠ACB= ∠ADC= 90^{\circ }$,$AD= 2$,$CD= \sqrt {2}$,当$AB$的长为____时,$\triangle ACB与\triangle ADC$相似.

答案： 1. 首先，在$Rt\triangle ADC$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$a = CD=\sqrt{2}$，$b = AD = 2$，$c = AC$）：
计算$AC$的长度：
$AC=\sqrt{AD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{2^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{4 + 2}=\sqrt{6}$。
2. 然后，分两种情况讨论$\triangle ACB$与$\triangle ADC$相似：
情况一：当$\triangle ACB\sim\triangle ADC$时：
根据相似三角形的性质$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$（对应边成比例）。
已知$AD = 2$，$AC=\sqrt{6}$，代入$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$可得：
$AB=\frac{AC^{2}}{AD}$。
把$AC=\sqrt{6}$，$AD = 2$代入上式，$AB=\frac{(\sqrt{6})^{2}}{2}=\frac{6}{2}=3$。
情况二：当$\triangle BCA\sim\triangle ADC$时：
根据相似三角形的性质$\frac{BC}{AD}=\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{AC}$，先求$\frac{AC}{CD}$的值，$\frac{AC}{CD}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$。
由$\frac{AB}{AC}=\sqrt{3}$，则$AB=\sqrt{3}AC$。
把$AC=\sqrt{6}$代入$AB=\sqrt{3}AC$，可得$AB=\sqrt{3}×\sqrt{6}=3\sqrt{2}$。
所以当$AB$的长为$3$或$3\sqrt{2}$时，$\triangle ACB$与$\triangle ADC$相似。