《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

9. (1)(2025·编写)如图,四边形ABCD是正方形,以CD为边长向正方形外作等边△CDE,AC与BE相交于点F,求∠AFD的度数。

(2)(2022·武侯)如图,将正方形ABCD放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,顶点C,D在第一象限。若点A(0,2),点B(3,0),求点C的坐标。

答案：

(1)[解]
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = AD = CD = BC，$\angle BAF = \angle DAF = 45^{\circ}$。在$\triangle ABF$和$\triangle ADF$中，$\begin{cases}AB = AD,\\\angle BAF = \angle DAF,\\AF = AF,\end{cases}$
∴$\triangle ABF \cong \triangle ADF(SAS)$，
∴$\angle AFB = \angle AFD$。
∵$\triangle CDE$为等边三角形，
∴$\angle DCE = 60^{\circ}$，
∴CD = CE，
∴CB = CE，
∴$\angle CBE = \angle CEB$。
∵$\angle BCE = \angle BCD + \angle DCE = 90^{\circ} + 60^{\circ} = 150^{\circ}$，
∴$\angle CBE = 15^{\circ}$。
∵$\angle ACB = 45^{\circ}$，
∴$\angle AFB = \angle ACB + \angle CBE = 60^{\circ}$，
∴$\angle AFD = 60^{\circ}$。
(2)[解]如图，过点C作CE⊥x轴于点E。
∴$\angle AOB = \angle BEC = 90^{\circ}$，
∵四边形ABCD为正方形，
∴$\angle ABC = 90^{\circ}$，AB = BC，
∴$\angle ABO + \angle EBC = 90^{\circ}$，$\angle ABO + \angle OAB = 90^{\circ}$，
∴$\angle OAB = \angle EBC$。
在$\triangle AOB$和$\triangle BEC$中，$\begin{cases}\angle AOB = \angle BEC,\\\angle OAB = \angle EBC,\\AB = BC,\end{cases}$
∴$\triangle AOB \cong \triangle BEC(AAS)$，
∴OA = EB，OB = EC。
∵点A(0,2)，点B(3,0)，
∴OA = EB = 2，OB = EC = 3，
∴OE = OB + EB = 5，
∴点C的坐标为(5,3)。

10. (2023·南京)如图,在正方形ABCD中,点E,F,G分别在CD,AD,BC上,且FG⊥BE,垂足为O。
(1) 求证：BE= FG；
(2) 若O是BE的中点,且BC= 8,EC= 3,求AF的长。

答案：

(1)[证明]如图1，过点A作AM//FG交BE于点N，交BC于点M。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，AB = BC，$\angle ABC = \angle C = 90^{\circ}$。
∵FG⊥BE，
∴$\angle FOB = 90^{\circ}$。
∵AM//FG，
∴$\angle ANB = \angle FOB = 90^{\circ}$，
∴$\angle AMB + \angle EBC = 90^{\circ}$。
∵$\angle C = 90^{\circ}$，
∴$\angle BEC + \angle EBC = 90^{\circ}$，
∴$\angle AMB = \angle BEC$。
在$\triangle ABM$和$\triangle BCE$中，$\begin{cases}\angle ABC = \angle C,\\\angle AMB = \angle BEC,\\AB = BC,\end{cases}$
∴$\triangle ABM \cong \triangle BCE(AAS)$，
∴AM = BE。
∵AD//BC，
∴AF//MG。
∵AM//FG，
∴四边形AMGF为平行四边形。
∴AM = FG。
∵AM = BE，
∴BE = FG。

(2)如图2，连接BF，EF。
∵FG⊥BE，O是BE的中点，
∴BF = FE。
在正方形ABCD中，AD = AB = DC = BC = 8。
∵EC = 3，
∴DE = 5。
设AF = x，则DF = 8 - x。
在Rt△ABF中，由勾股定理，得$BF^{2} = AB^{2} + AF^{2} = 8^{2} + x^{2}$。
在Rt△DEF中，由勾股定理，得$EF^{2} = DE^{2} + DF^{2} = 5^{2} + (8 - x)^{2}$。
∵BF = FE，
∴$BF^{2} = EF^{2}$，即$8^{2} + x^{2} = 5^{2} + (8 - x)^{2}$，
解得$x = \frac{25}{16}$，
∴$AF = \frac{25}{16}$。

11. (2025·编写)如图,在正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC= 1,CE= 3,H是AF的中点,那么CH的长是____。

答案： $\sqrt{5}$