《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

4. (2025·成华) 学习雷锋好榜样。学校计划建一座高度为 $ 4 $ 米的雷锋雕像,使雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,那么该雕像的下部高度是____米。

答案： $(2\sqrt {5}-2)$

5. (2022·锦江) 已知点 $ C $ 是线段 $ AB $ 的黄金分割点,$ AC＞BC $。若 $ AB= 2 $,则 $ AC $ 的长为()
A. $ \sqrt{5}-1 $
B. $ \frac{\sqrt{5}+1}{2} $
C. $ 3-\sqrt{5} $
D. $ \frac{3-\sqrt{5}}{2} $

答案： A

6. (2025·编写) 比值为 $ \frac{\sqrt{5}-1}{2} $ (约 $ 0.618 $) 的比例被公认为是最能引起美感的比例,因此被称为黄金分割比。我们中国的国旗宽与长之比就非常接近这个比例,如果某面国旗长为 $ 2 $ 米,则其宽约为()
A. $ 1.5 $ 米
B. $ 1.2 $ 米
C. $ 1.0 $ 米
D. $ 0.8 $ 米

答案： B

7. (2025·编写) 下列说法中正确的是()
A. 若 $ M $ 是 $ AB $ 上一点,且满足 $ AM^{2}= AB \cdot BM $,则点 $ M $ 是 $ AB $ 的黄金分割点
B. 所有的菱形都相似
C. 所有的矩形都相似
D. 所有的等腰三角形都相似

答案： A

8. (2025·编写) 两千多年前,古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割,即：如图,$ P $ 是线段 $ AB $ 上一点 $ (AP＞BP) $,若满足 $ \frac{BP}{AP}= \frac{AP}{AB} $,则称点 $ P $ 是 $ AB $ 的黄金分割点。黄金分割在日常生活中处处可见,例如：主持人在舞台上主持节目时,站在黄金分割点上,观众看上去感觉最好。若舞台长 $ 20 $ 米,主持人从舞台一侧进入,设他至少走 $ x $ 米时恰好站在舞台的黄金分割点上,

则 $ x $ 满足的方程是()
A. $ (20-x)^{2}= 20x $
B. $ x^{2}= 20(20-x) $
C. $ x(20-x)= 20^{2} $
D. 以上都不对

答案： A

9. (2025·编写) 如图,已知点 $ C $,$ D $ 是线段 $ AB $ 的黄金分割点,$ AB= 10 $,求线段 $ AC $ 与 $ CD $ 的长。

答案： 【解】
∵点C,D是线段AB的黄金分割点,
∴$AC=\frac {\sqrt {5}-1}{2}AB=5\sqrt {5}-5,BD=\frac {\sqrt {5}-1}{2}AB=5\sqrt {5}-5,$
∴$AD=AB - BD=15 - 5\sqrt {5},$
∴$CD=AC - AD=5\sqrt {5}-5-(15 - 5\sqrt {5})=10\sqrt {5}-20.$

10. (2025·编写) 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时,提出了分线段的“中末比”问题：点 $ G $ 将一线段 $ MN $ 分为两线段 $ MG $,$ GN $,使得其中较长的一段 $ MG $ 是全长 $ MN $ 与较短的一段 $ GN $ 的比例中项,即满足 $ \frac{MG}{MN}= \frac{GN}{MG}= \frac{\sqrt{5}-1}{2} $,后人把 $ \frac{\sqrt{5}-1}{2} $ 这个数称为“黄金分割数”,把点 $ G $ 称为线段 $ MN $ 的“黄金分割点”。如图,在 $ \triangle ABC $ 中,已知 $ AB= AC= 3 $,$ BC= 4 $,若点 $ D $ 是边 $ BC $ 上的一个“黄金分割点”,求 $ \triangle ADC $ 的面积。

答案： 【解】如图,过点A作$AE⊥BC$于点E.
∵$AB = AC = 3,BC = 4,$
∴$BE = CE=\frac {1}{2}BC=\frac {1}{2}×4 = 2,AE=\sqrt {3^{2}-2^{2}}=\sqrt {5}.$
∵点D是边BC上的一个“黄金分割点”，
∴$CD=4×\frac {\sqrt {5}-1}{2}=2(\sqrt {5}-1),$
∴$△ADC$的面积为$\frac {1}{2}CD\cdot AE=\frac {1}{2}×2(\sqrt {5}-1)×\sqrt {5}=5-\sqrt {5}.$