《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

6. (2024·自贡) 关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } + m x - 2 = 0 $ 根的情况是 ()
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根

答案： A

7. (2022·宜宾) 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + 2 x - 1 = 0 $ 有两个不相等的实数根,则 $ a $ 的取值范围是 ()
A. $ a \neq 0 $
B. $ a ＞ - 1 $ 且 $ a \neq 0 $
C. $ a \geqslant - 1 $ 且 $ a \neq 0 $
D. $ a ＞ - 1 $

答案： B

8. (2025·编写) 关于 $ x $ 的方程 $ ( k - 1 ) ^ { 2 } x ^ { 2 } + ( 2 k + 1 ) x + 1 = 0 $ 有实数根,则 $ k $ 的取值范围是 ()
A. $ k ＞ \frac { 1 } { 4 } $ 且 $ k \neq 1 $
B. $ k \geqslant \frac { 1 } { 4 } $ 且 $ k \neq 1 $
C. $ k ＞ \frac { 1 } { 4 } $
D. $ k \geqslant \frac { 1 } { 4 } $

答案： D

9. (1) (2025·彭州) 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ( k - 2 ) x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 0 $ 有两个不相等的实数根,求 $ k $ 的取值范围.
(2) (2023·新都) 一个骰子的六个面上分别标有数字 $ - 2, - 1, 0, 1, 2, 3 $,任意掷一次骰子,记朝上的一面的数字为 $ a $,则任意掷一次骰子,求恰好能使关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - ( 2 a - 1 ) x + a ^ { 2 } - 1 = 0 $ 有解的概率.

答案：
(1)【解】由题意知，$\Delta = 3^{2} + 4(k - 2) \times 2 = 8k - 7 ＞ 0$，且 $k - 2 \neq 0$，解得 $k ＞ \frac{7}{8}$，且 $k \neq 2$，
$\therefore k$ 的取值范围为 $k ＞ \frac{7}{8}$ 且 $k \neq 2$。
(2)【解】
∵关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (2a - 1)x + a^{2} - 1 = 0$ 有解，
$\therefore [-(2a - 1)]^{2} - 4(a^{2} - 1) \geq 0$，解得 $a \leq \frac{5}{4}$。
在 $-2, -1, 0, 1, 2, 3$ 中，符合此条件的有 $-2, -1, 0, 1$ 这 4 种情况，
∴任意掷一次骰子，恰好能使关于 $x$ 的一元二次方
程 $x^{2} - (2a - 1)x + a^{2} - 1 = 0$ 有解的概率为 $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。

10. (1) (2025·编写) 已知整数 $ k ＜ 5 $,若 $ \triangle A B C $ 的边长均满足关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - 3 \sqrt { k } x + 8 = 0 $,求 $ \triangle A B C $ 的周长.
(2) (2023·广州) 已知关于 $ x $ 的方程 $ x ^ { 2 } - ( 2 k - 2 ) x + k ^ { 2 } - 1 = 0 $ 有两个实数根,求 $ \sqrt { ( k - 1 ) ^ { 2 } } - ( \sqrt { 2 - k } ) ^ { 2 } $ 的化简结果.

答案：
(1)【解】根据题意，得 $k \geq 0$ 且 $(3\sqrt{k})^{2} - 4 \times 8 \geq 0$，
解得 $k \geq \frac{32}{9}$。
∵整数 $k ＜ 5$，$\therefore k = 4$，
∴原方程变形为 $x^{2} - 6x + 8 = 0$，
解得 $x_{1} = 2, x_{2} = 4$。
∵$\triangle ABC$ 的边长均满足关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 6x + 8 = 0$，
∴$\triangle ABC$ 的边长为 $2, 2, 2$ 或 $4, 4, 4$ 或 $4, 4, 2$，
∴$\triangle ABC$ 的周长为 6 或 12 或 10。
(2)【解】
∵关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (2k - 2)x + k^{2} - 1 = 0$ 有两个实数根，
$\therefore \Delta = [-(2k - 2)]^{2} - 4 \times 1 \cdot (k^{2} - 1) \geq 0$，
整理，得 $-8k + 8 \geq 0$，$\therefore k \leq 1$，
$\therefore k - 1 \leq 0, 2 - k ＞ 0$，
$\therefore \sqrt{(k - 1)^{2}} - (\sqrt{2 - k})^{2} = -(k - 1) - (2 - k) = -1$。