《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

12. (2025·编写)如图,在四边形ABCD中,AD//BC,∠C= 90°,AB= AD,连接BD,∠BAD的平分线分别交BD,BC于点O,E.若EC= 3,CD= 4,则BO的长为____.

答案： $2\sqrt{5}$

13. (2023·天府新区)如图,在▱ABCD中,∠D= 60°,CD= DA= 4,E为四边形内部一点,且AE= 2,连接CE,F为CE中点,连接BF,取BF中点G,连接AG,则AG的最大值为____.

答案： $\frac{1}{2} + \sqrt{7}$

14. (2025·金牛)如图1,在矩形ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,将矩形ABCD沿直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,EF与HC交于点O,连接CE.
(1)求证：四边形CFHE是菱形；
(2)如图2,当AB= 4,BC= 8,点H与点A重合时,求OF的长.

答案：

(1)【证明】在矩形$ABCD$中，$AD// BC$，
即$HE// CF$，$\therefore \angle HEF = \angle EFC$。
由翻折可知，$\angle EFC = \angle HFE$，
$\therefore \angle HEF = \angle HFE$，$\therefore HE = HF$。
$\because FC = FH$，$\therefore HE = CF$。
又$\because HE// CF$，
$\therefore$四边形$CFHE$是平行四边形。
$\because CF = FH$，
$\therefore$四边形$CFHE$是菱形。
(2)【解】当点$H$与点$A$重合时，设$BF = x$，则$AF = FC = BC - BF = 8 - x$。
在$Rt\triangle ABF$中，$AB^{2} + BF^{2} = AF^{2}$，
$\therefore 4^{2} + x^{2} = (8 - x)^{2}$，解得$x = 3$，
$\therefore CE = AF = 8 - x = 5$。
$\because CD = AB = 4$，
$\therefore DE = \sqrt{CE^{2} - CD^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3$。

如图，过点$F$作$FM\perp AD$于点$M$，得矩形$ABFM$，矩形$CDMF$。
$\therefore AM = BF = 3$，$MF = AB = 4$。
$\therefore ME = AD - AM - DE = 8 - 3 - 3 = 2$。
在$Rt\triangle EMF$中，由勾股定理，得$EF = \sqrt{MF^{2} + ME^{2}} = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{5}$，
$\therefore OF = \frac{1}{2}EF = \sqrt{5}$。

15. (2025·编写)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,EF垂直平分BD,分别交AB,BC,BD于点E,F,G,连接DE,DF.
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
(2)若∠BDE= 15°,∠C= 45°,DE= 2,求CF的长.

答案：

(1)【证明】$\because BD$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle ABD = \angle DBC$，
$\because EF$垂直平分$BD$。
$\therefore BE = DE$，$BF = DF$，
$\therefore \angle EBD = \angle EDB$，$\angle FBD = \angle FDB$，
$\therefore \angle EBD = \angle BDF$，$\angle EDB = \angle DBF$，
$\therefore BE// DF$，$DE// BF$，
$\therefore$四边形$DEBF$是平行四边形，且$BE = DE$，
$\therefore$四边形$BEDF$是菱形。
(2)【解】如图，过点$D$作$DH\perp BC$于点$H$。

$\because$四边形$BEDF$是菱形，
$\therefore BF = DF = DE = 2$，
$\therefore \angle FBD = \angle FDB = \angle BDE = 15^{\circ}$，
$\therefore \angle DFH = 30^{\circ}$，且$DH\perp BC$，
$\therefore DH = \frac{1}{2}DF = 1$，$FH = \sqrt{3}DH = \sqrt{3}$。
$\because \angle C = 45^{\circ}$，$DH\perp BC$，
$\therefore \angle C = \angle CDH = 45^{\circ}$，
$\therefore DH = CH = 1$，
$\therefore FC = FH + CH = \sqrt{3} + 1$。