《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

12. (2025·编写)如图是小孔成像原理的示意图,根据图中标注的尺寸,如果物体$AB的高度为36\mathrm{cm}$,那么它在暗盒中所成的像$CD$的高度应为____$\mathrm{cm}$.

答案： 16

13. (2022·遂宁)如图,$D$,$E$,$F分别是\triangle ABC$三边上的点,其中$BC = 8$,$BC边上的高为6$,且$DE// BC$,则$\triangle DEF$面积的最大值为____.

答案： 6

14. (2022·金牛)如图,在菱形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD相交于点O$,$E$,$F分别是OC$,$CD$的中点,连接$EF$,$AF$,$AF交OD于点H$. 若$EC = 3$,$EF = 4$,求点$H到AD$的距离.

答案：
【解】如图,过点H作$HM\perp AD$,垂足为M,延长MH交BC于点N,延长AF,BC交于点G.

$\because$ 菱形ABCD的对角线相交于点O,
$\therefore AC\perp BD,OA=OC,OB=OD,AB=BC=CD=DA.$
$\because E$是$OC$的中点,$F$是$CD$的中点,
$\therefore OC=2EC=6,EF// BD,OD=2EF=8,\therefore EF\perp AC.$
在$Rt\triangle ECF$中,$FC=\sqrt{EC^{2}+EF^{2}}=5,$
$\therefore CD=2FC=10=AB=BC=CD,$
$\therefore AC=2OC=12,BD=2OD=16,$
$\therefore S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=BC\cdot MN,$
即$\frac{1}{2}\times12\times16=10\cdot MN,\therefore MN=9.6.$
$\because \angle AFD=\angle GFC,\angle DAF=\angle CGF,FD=FC,$
$\therefore \triangle DAF\cong\triangle CGF(AAS),\therefore AD=GC=BC.$
又$\because AD// BG,\therefore \triangle ADH\backsim\triangle GBH,$
$\therefore \frac{HM}{HN}=\frac{AD}{GB}=\frac{1}{2},$
$\therefore HM=\frac{1}{3}MN=\frac{1}{3}\times9.6=3.2.$
$\therefore$ 点H到AD的距离为3.2.

15. (2025·编写)如图,在矩形$ABCD$中,$AB = 20$,$BC = 10$,$P为AB$边上一动点,$DP交AC于点Q$.
(1) 求证：$\triangle APQ\backsim\triangle CDQ$.
(2) 点$P从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B$点移动,移动时间为$t$秒.
① 当$t$为何值时,$DP\perp AC$？
② 设$S_{\triangle APQ} + S_{\triangle DCQ} = y$,写出$y与t$之间的函数解析式.

答案：
(1)【证明】$\because$ 四边形ABCD是矩形,$\therefore AB// CD,$
$\therefore \angle QPA=\angle QDC,\angle QAP=\angle QCD,$
$\therefore \triangle APQ\backsim\triangle CDQ.$
(2)【解】①当$DP\perp AC$时,$\angle QCD+\angle QDC=90^{\circ},$
$\because \angle ADQ+\angle QDC=90^{\circ},\therefore \angle DCA=\angle ADP.$
$\because \angle ADC=\angle DAP=90^{\circ},\therefore \triangle ADC\backsim\triangle PAD,$
$\therefore \frac{AD}{PA}=\frac{DC}{AD},\therefore \frac{10}{PA}=\frac{20}{10},$
解得$PA=5,\therefore t=5$. 即当$t=5$时,$DP\perp AC$.
②设$\triangle APQ$的边AP上的高为h,则$\triangle QDC$的边DC上的高为$10 - h$.
$\because \triangle APQ\backsim\triangle CDQ,\therefore \frac{h}{10 - h}=\frac{AP}{DC}=\frac{t}{20},$
解得$h=\frac{10t}{20 + t},\therefore 10 - h=\frac{200}{20 + t},$
$\therefore S_{\triangle APQ}=\frac{1}{2}AP\cdot h=\frac{5t^{2}}{20 + t}.$
$S_{\triangle DCQ}=\frac{1}{2}DC\cdot(10 - h)=\frac{2000}{20 + t},$
$\therefore y=S_{\triangle APQ}+S_{\triangle DCQ}=\frac{5t^{2}}{20 + t}+\frac{2000}{20 + t}=\frac{5t^{2}+2000}{20 + t}$
$(0\leq t\leq20).$
即y与t之间的函数解析式为$y=\frac{5t^{2}+2000}{20 + t}(0\leq t\leq20).$