《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

11. (2022·瑶海)如图,AD是△ABC的中线,E是AD上一点,且AD= 4AE,连接BE并延长交AC于点F,过点A作AG//BC交BF的延长线于点G,则GF:BE=

答案： 4:21

12. (2025·成华)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,在BA的延长线上取点E,连接OE交AD于点F。若BC= 8,CD= 5,AE= 2,则AF的长为____。

答案： $\frac{16}{9}$

13. (2023·胶州)如图,已知AM:MD= 4:1,BD:DC= 2:3,则AE:EC=

答案： 8:5

14. (2024·眉山)如图,菱形ABCD的边长为6,∠BAD= 120°,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,连接AE分别交BD,CD于点F,G,求FG的长。

答案： [解]
∵菱形ABCD的边长为6，∠BAD=120°，
∴AD=BC=CD=6，AD//BC，∠BCD=120°，
∴∠DCE=60°．
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°．
∵在Rt△DEC中，∠CDE=90°−∠DCE=30°，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=3，
∴DE=$\sqrt{3}$CE=3$\sqrt{3}$，BE=BC+CE=9．
∵AD//BE，
∴∠ADE=180°−∠DEC=90°．
在Rt△ADE中，根据勾股定理，得
AE=$\sqrt{DE^{2}+AD^{2}}=\sqrt{(3\sqrt{3})^{2}+6^{2}}=3\sqrt{7}$．
∵AD//BE，
∴$\frac{AF}{FE}=\frac{AD}{BE}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$，
∴AF=$\frac{2}{5}$AE=$\frac{2}{5}\times3\sqrt{7}=\frac{6\sqrt{7}}{5}$．
∵AD//CE，
∴$\frac{AG}{EG}=\frac{AD}{CE}=\frac{6}{3}=2$，
∴AG=$\frac{2}{3}$AE=$\frac{2}{3}\times3\sqrt{7}=2\sqrt{7}$，
∴FG=AG−AF=2$\sqrt{7}-\frac{6\sqrt{7}}{5}=\frac{4\sqrt{7}}{5}$．

15. (2025·编写)如图,已知M,N为△ABC的边BC上的两点,且满足BM= MN= NC,一条平行于AC的直线分别交AB,AM,AN的延长线于点D,E,F,求$\frac{EF}{DE}$的值。

答案：
[解]如图，过点N，M分别作AC的平行线交AB于点H，G，交AM于点K．

∵BM=MN=NC，
∴BG=GH=AH．
∵KH//MG，
∴HK=$\frac{1}{2}$MG，MG=$\frac{1}{2}$HN，
∴HK=$\frac{1}{4}$NH，
∴$\frac{HK}{KN}=\frac{1}{3}$．
∵DF//AC，
∴DF//NH，
∴$\frac{HK}{DE}=\frac{AK}{AE}$，$\frac{KN}{EF}=\frac{AK}{AE}$，
∴$\frac{HK}{DE}=\frac{KN}{EF}$，
∴$\frac{EF}{DE}=\frac{KN}{HK}=3$．