《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

12. (2025·编写)如图,在正方形$ABCD$中,$E是对角线BD$上的一点,$BE= BC$,过点$E作EF\perp AB$,$EG\perp BC$,垂足分别为$F$,$G$,则正方形$FBGE与正方形ABCD$的相似比为____。

答案： $\sqrt{2}:2$

13. (2025·编写)如图,已知$AD为\triangle ABC$的角平分线,$DE// AB交AC于点E$,如果$\frac{AE}{EC}= \frac{3}{5}$,那么$\frac{AC}{AB}= $____。

答案： $\frac{5}{3}$

14. (2023·上海)如图,$AD是\triangle ABC$的中线,$P为AD$上任意一点,连接$BP$并延长,交$AC于点F$,连接$CP$并延长,交$AB于点E$,连接$EF$。求证：$EF// BC$。

答案：
[证明]如图，延长PD到点M，使DM = PD，连接BM，CM。

∵AD是△ABC的中线，
∴BD = CD。
∵DM = PD，
∴四边形BPCM是平行四边形，
∴BP//MC，即PF//MC，
∴AF:AC = AP:AM，同理AE:AB = AP:AM，
∴AE:AB = AF:AC，
∴EF//BC。

15. (2023·金牛)如图,在矩形$ABCD$中,$AB= 6$,$AD= 8$,动点$E从点A出发沿AD$运动,同时,点$F从点B出发沿BC$运动。连接$EF$,过点$D作DG\perp EF于点G$,连接$BG$。若点$F的运动速度是点E的2.5$倍,则在点$F从点B运动到点C$的过程中,求线段$BG$的最小值。

答案：
[解]如图，延长FE交BA的延长线于点M，连接DM，设DM的中点为N，过点N作NH⊥BM，以点N为圆心，DM为直径作圆，连接NG，BN。

∵四边形ABCD为矩形，AB = 6，AD = 8，
∴AD//BC，
∴△MAE∽△MBF，
∴$\frac{MA}{MB}=\frac{AE}{BF}。$
∵点F的运动速度是点E的2.5倍，点E,F分别从点A,B同时出发，
∴$\frac{AE}{BF}=\frac{2}{5}，$
∴$\frac{MA}{MB}=\frac{MA}{MA + AB}=\frac{2}{5}，$
∴MA = 4，
∴$DM=\sqrt{MA^{2}+AD^{2}}=4\sqrt{5}。$
∵DG⊥EF，
∴点G在以DM为直径的圆上运动，
∴$NG = 2\sqrt{5}。$
由图可知，当B,N,G三点共线时，BG取得最小值，最小值为BN - NG。
∵NH⊥BM，且N为DM的中点，
∴NH//AD，
∴NH为△MAD的中位线，
∴$AH=\frac{1}{2}MA = 2，$$NH=\frac{1}{2}AD = 4，$
∴BH = AB + AH = 8，
∴$BN=\sqrt{BH^{2}+NH^{2}}=4\sqrt{5}，$
∴线段BG的最小值是$BN - NG = 4\sqrt{5}-2\sqrt{5}=2\sqrt{5}。$