《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

14. (1)(2025·编写)已知$x^{2}+y^{2}-4x+6y+13= 0$,求$x^{y}+(3-\pi)^{0}$的值。
(2)(2025·编写)求多项式$2x^{2}-2xy+y^{2}+4x+25$的最小值。
(3)(2025·编写)设实数$x$,$y$,$z满足x+y+z= 4$,求代数式$xy+2yz+xz$的最大值。

答案：
(1)【解】$\because x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 0$，
$\therefore x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 0$，
$\therefore (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 0$，
$\therefore x - 2 = 0$，$y + 3 = 0$，
解得$x = 2$，$y = -3$。
代入原式$= 2^{-3} + 1 = \frac{1}{2^3} + 1 = \frac{9}{8}$。
$\therefore x^y + (3 - \pi)^0 = \frac{9}{8}$。
(2)【解】$2x^2 - 2xy + y^2 + 4x + 25$
$= x^2 - 2xy + y^2 + x^2 + 4x + 4 + 21$
$= (x - y)^2 + (x + 2)^2 + 21$，
$\because (x - y)^2 \geq 0$，$(x + 2)^2 \geq 0$，
$\therefore (x - y)^2 + (x + 2)^2 + 21 \geq 21$，
$\therefore$多项式$2x^2 - 2xy + y^2 + 4x + 25$的最小值为21。
(3)【解】$\because x + y + z = 4$，
$\therefore x + z = 4 - y$，$x + y = 4 - z$，
$\therefore xy + 2yz + xz$
$= xy + yz + xz + yz$
$= y(x + z) + z(x + y)$
$= y(4 - y) + z(4 - z)$
$= -y^2 + 4y - 4 + 4 - z^2 + 4z - 4 + 4$
$= -(y - 2)^2 - (z - 2)^2 + 8$。
$\because -(y - 2)^2 \leq 0$，$-(z - 2)^2 \leq 0$，
$\therefore -(y - 2)^2 - (z - 2)^2 + 8 \leq 8$，
故$xy + 2yz + xz$的最大值是8。

15. (2022·绥宁)我们已经学习了利用配方法解一元二次方程,其实配方法还有其他重要应用,例如：试求二次三项式$x^{2}+4x+5$的最小值。
解：$x^{2}+4x+5= x^{2}+4x+4+1= (x+2)^{2}+1$,$\because(x+2)^{2}\geq0$,$(x+2)^{2}+1\geq1$,$\therefore x^{2}+4x+5\geq1$,即$x^{2}+4x+5$的最小值是1。
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)已知$y= x^{2}-6x+12$,求$y$的最小值。
(2)比较代数式$3x^{2}-x+2与2x^{2}+3x-6$的大小,并说明理由。
知识迁移：
(3)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$AC= 4cm$,$BC= 3cm$,点$P在AC边上以2cm/s的速度从点A向点C$移动,点$Q在CB边上以1cm/s的速度从点C向点B$移动。若点$P$,$Q$同时出发,且当一点移动到终点时,另一点也随之停止,设四边形$APQB的面积为Scm^{2}$,运动时间为$t$秒,求$S$的最小值。

答案：
(1)【解】$\because y = x^2 - 6x + 12$，
$\therefore y = (x - 3)^2 + 3$，$\therefore y$的最小值为3。
(2)$3x^2 - x + 2 - (2x^2 + 3x - 6)$
$= 3x^2 - x + 2 - 2x^2 - 3x + 6 = x^2 - 4x + 8$
$= (x - 2)^2 + 4$，
$\because (x - 2)^2 + 4 ＞ 0$，
$\therefore 3x^2 - x + 2 ＞ 2x^2 + 3x - 6$。
(3)根据题意可得$AP = 2t\ cm$，$CQ = t\ cm$，
$\therefore CP = AC - AP = (4 - 2t)cm$。
又$S = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle PQC}$，
$\therefore S = \frac{1}{2} × 4 × 3 - \frac{1}{2} × (4 - 2t)t = 6 - 2t + t^2 = (t - 1)^2 + 5$，
$\therefore S$的最小值为5。