《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

12. (2025·编写)如图,在△ABC中,∠BAC= 90°,AD是BC边上的中线,E为AD的中点,过点A作AF//BC交BE的延长线于点F。连接CF,当∠ACB= ______时,四边形ADCF为正方形；连接DF,当∠ACB= ______时,四边形ABDF为菱形。

答案： $ 45^{\circ} $ $ 30^{\circ} $

13. (2025·编写)如图,以Rt△ABC的斜边BC为边,向外作正方形BCDE,设正方形的对角线BD与CE的交点为O,连接AO。如果AC= 3,AO= 6,那么AB的值是______。

答案： $ 6\sqrt{2} - 3 $

14. (2025·编写)如图,在四边形ABCD中,∠A= ∠B= 90°,AB= BC= 4,AD= 3,E是边AB上一点,且∠DCE= 45°,求DE的长度。

答案：
【解】如图，过点$C$作$CG \perp AD$交$AD$延长线于点$G$，并延长$DG$至点$F$，使$GF = BE$。

$\because \angle A = \angle B = \angle CGA = 90^{\circ}$，$AB = BC$，
$\therefore$四边形$ABCG$为正方形，
$\therefore AG = BC = 4$，$\angle BCG = 90^{\circ}$，$BC = CG$。
$\because AD = 3$，$\therefore DG = 4 - 3 = 1$。
$\because BC = CG$，$\angle B = \angle CGF = 90^{\circ}$，$BE = GF$，
$\therefore \triangle EBC \cong \triangle FGC(SAS)$，
$\therefore CE = CF$，$\angle ECB = \angle FCG$。
$\because \angle DCE = 45^{\circ}$，
$\therefore \angle DCG + \angle BCE = \angle DCG + \angle FCG = 45^{\circ}$，
$\therefore \angle DCE = \angle DCF$。
$\because CE = CF$，$\angle DCE = \angle DCF$，$DC = DC$，
$\therefore \triangle ECD \cong \triangle FCD(SAS)$，$\therefore DE = DF$。
设$DE = x$，则$EB = GF = x - 1$，$\therefore AE = 4 - (x - 1) = 5 - x$。
在$Rt\triangle AED$中，$AE^{2} + AD^{2} = DE^{2}$，
$\therefore (5 - x)^{2} + 3^{2} = x^{2}$，解得$x = 3.4$，$\therefore DE = 3.4$。

15. (2025·编写)如图,已知四边形ABCD为正方形,AB= 3√2,E为对角线AC上一动点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交BC于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG。
(1)求证：矩形DEFG是正方形。
(2)探究：CE+CG的值是否为定值？若是,请求出这个定值；若不是,请说明理由。

答案：

(1)【证明】如图，过点$E$作$EM \perp BC$于点$M$，$EN \perp CD$于点$N$，$\therefore \angle MEN = 90^{\circ}$。

$\because E$是正方形$ABCD$对角线上的点，$\therefore EM = EN$。
$\because \angle DEF = 90^{\circ}$，$\therefore \angle DEN = \angle MEF$。
在$\triangle DEN$和$\triangle FEM$中，$\begin{cases} \angle DNE = \angle FME = 90^{\circ}, \\ EN = EM, \\ \angle DEN = \angle FEM, \end{cases} $
$\therefore \triangle DEN \cong \triangle FEM(ASA)$，$\therefore EF = DE$。
$\because$四边形$DEFG$是矩形，$\therefore$矩形$DEFG$是正方形。
(2)【解】$CE + CG$的值是定值，定值为$6$。理由如下：
在正方形$DEFG$和正方形$ABCD$中，$DE = DG$，$AD = CD$。
$\because \angle CDG + \angle CDE = \angle ADE + \angle CDE = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle CDG = \angle ADE$。
在$\triangle ADE$和$\triangle CDG$中，$\begin{cases} AD = CD, \\ \angle ADE = \angle CDG, \\ DE = DG, \end{cases} $
$\therefore \triangle ADE \cong \triangle CDG(SAS)$，$\therefore AE = CG$，
$\therefore CE + CG = CE + AE = AC = \sqrt{2}AB = \sqrt{2} \times 3\sqrt{2} = 6$，即$CE + CG$的值是定值，定值为$6$。