《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

9. (1) (2025·编写)若$\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$,且$3x - 2y + z = 18$,求$x + 5y - 3z$的值。
(2) (2025·编写)已知$\triangle ABC和\triangle DEF$中,有$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} = \frac{2}{3}$,且$\triangle DEF和\triangle ABC的周长之差为15$厘米,求$\triangle ABC和\triangle DEF$的周长。

答案：
(1)【解】设 $ \frac { x } { 3 } = \frac { y } { 4 } = \frac { z } { 5 } = k $，则 $ x = 3 k $，$ y = 4 k $，$ z = 5 k $。又 $ \because 3 x - 2 y + z = 18 $，$ \therefore 9 k - 8 k + 5 k = 18 $，$ \therefore k = 3 $，$ \therefore x = 9 $，$ y = 12 $，$ z = 15 $，$ \therefore x + 5 y - 3 z = 9 + 5 \times 12 - 3 \times 15 = 24 $。
(2)【解】设 $ \triangle A B C $ 和 $ \triangle D E F $ 的周长分别是 $ x $ 厘米和 $ y $ 厘米。$ \because \frac { A B } { D E } = \frac { B C } { E F } = \frac { C A } { F D } = \frac { 2 } { 3 } $，$ \therefore \frac { A B + B C + C A } { D E + E F + F D } = \frac { x } { y } = \frac { 2 } { 3 } $，①由题意可得 $ y - x = 15 $。②由①式，得 $ x = \frac { 2 } { 3 } y $。③将③式代人②式，得 $ y - \frac { 2 } { 3 } y = 15 $，$ \therefore y = 45 $。将 $ y = 45 $ 代人③式，得 $ x = 30 $。故 $ \triangle A B C $ 和 $ \triangle D E F $ 的周长分别是 $ 30 $ 厘米和 $ 45 $ 厘米。

10. (2025·编写)已知$a$,$b$,$c是\triangle ABC$的三边长,且$\frac{a + 1}{5} = \frac{b - 2}{4} = \frac{c}{6} \neq 0$。
(1) 求$\frac{2a + b}{3c}$的值；
(2) 若$\triangle ABC的周长为91$,求各边的长。

答案： 【解】
(1)设 $ a = 5 k - 1 $，$ b = 4 k + 2 $，$ c = 6 k $，则 $ \frac { 2 a + b } { 3 c } = \frac { 10 k - 2 + 4 k + 2 } { 18 k } = \frac { 14 k } { 18 k } = \frac { 7 } { 9 } $。
(2) $ 5 k - 1 + 4 k + 2 + 6 k = 91 $，$ 15 k = 90 $，$ k = 6 $，$ \therefore a = 29 $，$ b = 26 $，$ c = 36 $。

11. (2025·编写)若$2a = 3b = 4c$,且$abc \neq 0$,则$\frac{a + b}{c - 2b}$的值是____。

答案： $ - 2 $

12. (1) (2025·编写)若$x = \frac{a}{b + c} = \frac{b}{a + c} = \frac{c}{a + b}$,则$x = $____。
(2) (2025·编写)四条线段$a$,$b$,$c$,$d$构成比例线段,其中$a = 3\mathrm{cm}$,$b = 9\mathrm{cm}$,$d = 6\mathrm{cm}$,则$c = $____$\mathrm{cm}$。

答案：
(1) $ - 1 $ 或 $ \frac { 1 } { 2 } $
(2) $ 18 $ 或 $ 2 $ 或 $ 4.5 $

13. (2025·编写)设$k = \frac{a + b - c}{c} = \frac{a - b + c}{b} = \frac{-a + b + c}{a}$,则$k$的值为____。

答案： $ 1 $ 或 $ - 2 $