《2025年天府前沿九年级数学上册北师大版》

14. (2022·天府新区)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+(2 - m)x + 1 - m = 0 $。
(1) 求证：方程总有两个实数根；
(2) 若 $ m ＜ 0 $,方程的两个实数根为 $ x_{1},x_{2} $,且 $ x_{1} ＜ x_{2},x_{2}-2x_{1} = 3 $,求 $ m $ 的值。

答案：
(1)【证明】$\because \Delta=(2-m)^{2}-4(1-m)=m^{2}≥0$,
$\therefore$ 方程总有两个实数根.
(2)【解】$x=\frac{-(2-m)\pm m}{2}$,
$\because m＜0,x_{1}＜x_{2},\therefore x_{1}=m-1,x_{2}=-1$.
$\because x_{2}-2x_{1}=3,\therefore -1-2(m-1)=3$,
解得$m=-1$,即m的值为-1.

15. (2024·遂宁)已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0 $。
(1) 求证：无论 $ m $ 取何值,方程都有两个不相等的实数根；
(2) 若方程的两个实数根为 $ x_{1},x_{2} $,且 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2} = 9 $,求 $ m $ 的值。

答案：
(1)【证明】$x^{2}-(m+2)x+m-1=0$,
这里$a=1,b=-(m+2),c=m-1$.
$\Delta=b^{2}-4ac$
$=[-(m+2)]^{2}-4×1×(m-1)$
$=m^{2}+4m+4-4m+4$
$=m^{2}+8$.
$\because m^{2}≥0$,
$\therefore \Delta＞0$.
$\therefore$ 无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)【解】
∵方程$x^{2}-(m+2)x+m-1=0$的两个实数根为$x_{1},x_{2}$,
$\therefore x_{1}+x_{2}=m+2,x_{1}x_{2}=m-1$.
$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=9$,即$(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=9$,
$\therefore (m+2)^{2}-3(m-1)=9$.
整理,得$m^{2}+m-2=0$,
解得$m_{1}=-2,m_{2}=1$.
$\therefore$ m的值为-2或1.